Determine a temperatura u(x, t) em uma haste de comprimento L, se a temperatura inicial é f(x) = { x, 0 < x < 1; 0, 1 < x < 2 }, e se as extremidades x = 0 e x = 2 são isoladas. Determine u(x, t).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinarmos a temperatura em uma haste de comprimento , considerando que a temperatura inicial é definida por:
Além disso, as extremidades da haste ( e ) estão isoladas, o que significa que não há troca de calor nessas pontas. Para resolver isso, vamos usar a equação do calor com condições de contorno de Neumann (isoladas).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a equação do calor:
Aqui, é a difusividade térmica da haste. Como não foi dado um valor específico para , podemos considerar para simplificar os cálculos.

Passo 3

As condições de contorno são de Neumann, ou seja, as derivadas espaciais nas extremidades são zero:
Isso representa que não há fluxo de calor entrando ou saindo pelas extremidades.

Passo 4

Agora, precisamos expandir a condição inicial em uma série de Fourier apropriada para as condições de contorno de Neumann. Como as extremidades são isoladas, usamos uma série de cossenos:
Onde os coeficientes são dados por:

Passo 5

Vamos calcular os coeficientes para :
Como é uma função por partes, dividimos a integral:

Passo 6

Calculando a integral:
Utilizamos integração por partes, onde:
Aplicando integração por partes:
Avaliado de 0 a 1:
Substituindo os limites:
Simplificando:

Passo 7

Agora, a solução geral para é dada pela série de Fourier com os coeficientes calculados:
Onde é:
Então:

Passo 8

Finalmente, substituímos os coeficientes na expressão de :

Resposta

A temperatura na haste em qualquer posição e tempo é dada por:

Exercícios relacionados