Determine a temperatura
em uma haste de comprimento
, se a temperatura inicial é
, e se as extremidades
e
são isoladas. Determine
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinarmos a temperatura
em uma haste de comprimento
, considerando que a temperatura inicial
é definida por:
Além disso, as extremidades da haste (
e
) estão isoladas, o que significa que não há troca de calor nessas pontas. Para resolver isso, vamos usar a equação do calor com condições de contorno de Neumann (isoladas).
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a equação do calor:
Aqui,
é a difusividade térmica da haste. Como não foi dado um valor específico para
, podemos considerar
para simplificar os cálculos.
Passo 3
As condições de contorno são de Neumann, ou seja, as derivadas espaciais nas extremidades são zero:
Isso representa que não há fluxo de calor entrando ou saindo pelas extremidades.
Passo 4
Agora, precisamos expandir a condição inicial
em uma série de Fourier apropriada para as condições de contorno de Neumann. Como as extremidades são isoladas, usamos uma série de cossenos:
Onde os coeficientes
são dados por:
Passo 5
Vamos calcular os coeficientes
para
:
Como
é uma função por partes, dividimos a integral:
Passo 6
Calculando a integral:
Utilizamos integração por partes, onde:
Aplicando integração por partes:
Avaliado de 0 a 1:
Substituindo os limites:
Simplificando:
Passo 7
Agora, a solução geral para
é dada pela série de Fourier com os coeficientes calculados:
Onde
é:
Então:
Passo 8
Finalmente, substituímos os coeficientes
na expressão de
:
Resposta
A temperatura na haste em qualquer posição
e tempo
é dada por: