Resolva o problema da equação do calor:
para
e as condições:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação do calor dada por
no intervalo
e para
. As condições que temos são:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial parcial do tipo parabólico, conhecida como equação do calor. Para resolver isso, vamos usar o método de separação de variáveis e expandir a solução em séries de Fourier.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar separar as variáveis
em duas partes, uma que depende só de
e outra que depende só de
:
Substituindo na equação do calor:
Dividindo ambos os lados por
:
Aqui,
é uma constante de separação.
Passo 3
Agora, temos duas equações ordinárias:
- Para
:
- Para
:
Vamos focar primeiro na equação de
. As condições de contorno são
e
, mas para facilitar, vamos considerar uma solução homogênea assumindo que
.
Passo 4
Com
, a equação para
fica:
As soluções dessa equação dependem do sinal de
. Para termos não triviais,
deve ser positivo. Vamos chamar
, onde
é um número inteiro positivo.
Passo 5
Assim, as soluções para
são:
E as soluções para
são:
Portanto, cada modo de vibração é dado por
.
Passo 6
A solução geral é uma soma infinita desses modos:
Agora, usamos a condição inicial
para determinar os coeficientes
.
Passo 7
Aplicando
:
Isso é uma série de Fourier senoidal para
. Os coeficientes
são dados por:
Passo 8
Finalmente, substituindo
na solução geral, temos:
Essa é a solução da equação do calor com as condições dadas.
Resposta
A solução da equação do calor é dada por: