Resolva o problema da equação do calor: u_xx = u_t para t > 0 e 0 < x < 1 e as condições:
u(0, t) = u0, u(1, t) = u1, u(x, 0) = f(x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação do calor dada por no intervalo e para . As condições que temos são:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial parcial do tipo parabólico, conhecida como equação do calor. Para resolver isso, vamos usar o método de separação de variáveis e expandir a solução em séries de Fourier.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar separar as variáveis em duas partes, uma que depende só de e outra que depende só de :
Substituindo na equação do calor:
Dividindo ambos os lados por :
Aqui, é uma constante de separação.

Passo 3

Agora, temos duas equações ordinárias:
  1. Para :
  1. Para :
Vamos focar primeiro na equação de . As condições de contorno são e , mas para facilitar, vamos considerar uma solução homogênea assumindo que .

Passo 4

Com , a equação para fica:
As soluções dessa equação dependem do sinal de . Para termos não triviais, deve ser positivo. Vamos chamar , onde é um número inteiro positivo.

Passo 5

Assim, as soluções para são:
E as soluções para são:
Portanto, cada modo de vibração é dado por .

Passo 6

A solução geral é uma soma infinita desses modos:
Agora, usamos a condição inicial para determinar os coeficientes .

Passo 7

Aplicando :
Isso é uma série de Fourier senoidal para . Os coeficientes são dados por:

Passo 8

Finalmente, substituindo na solução geral, temos:
Essa é a solução da equação do calor com as condições dadas.

Resposta

A solução da equação do calor é dada por:

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