Determine se a equação é exata. Se for, resolva-a.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para verificar se a equação diferencial
é exata e, se for, resolver. Isso está dentro do conteúdo de Equações Diferenciais, mais especificamente sobre equações exatas. Para resolver, vamos precisar verificar a condição de exatidão e, se satisfeita, encontrar uma função solução.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar
e
. A condição para a equação ser exata é que a derivada parcial de
em relação a
seja igual à derivada parcial de
em relação a
.
Passo 3
Calculando
:
Passo 4
Agora, calculando
:
Passo 5
Como
, a equação é exata.
Passo 6
Para resolver a equação exata, vamos encontrar uma função
tal que:
Integrando
em relação a
:
Aqui,
é uma função que depende apenas de
.
Passo 7
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Isso nos dá:
onde
é a constante de integração.
Passo 8
Então, a função
é:
A solução geral da equação diferencial é igual a uma constante
:
Resposta
A equação é exata e sua solução geral é
.
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