Resolva as EDO abaixo utilizando o método do fator integrante:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária (EDO) que é do tipo linear. A equação que temos é:
Aqui, a gente vai usar o método do fator integrante. Esse método é ótimo para resolver EDOs lineares da forma
. Precisamos identificar
e
na nossa equação para seguir em frente.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar
e
:
Agora, vamos calcular o fator integrante
, que é dado por:
Passo 3
Calculando o fator integrante:
Esse fator é importante porque, ao multiplicarmos toda a equação original por ele, conseguimos reescrever a EDO de uma forma que facilita a integração.
Passo 4
Vamos multiplicar toda a equação original por
:
Perceba que o lado esquerdo da equação agora é a derivada de
. Ou seja:
Passo 5
Agora, para encontrar
, vamos integrar ambos os lados da equação:
Do lado esquerdo, a integral da derivada é simplesmente
. Já do lado direito, temos que resolver a integral
.
Passo 6
Vamos resolver a integral do lado direito usando substituição:
Seja
, então
ou
.
Mas temos
, que podemos escrever como
. Então:
Agora, para resolver
, usamos a técnica de integração por partes:
Seja
e
, então
e
.
Aplicando a fórmula de integração por partes (
):
Voltando a
:
Passo 7
Agora, substituindo de volta na equação onde integrávamos:
Para isolar
, dividimos ambos os lados por
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Exercícios relacionados
Resolva as EDO abaixo utilizando o método do fator integrante:
Exercício 1. Calcule a integral
para os seguintes casos:
© e
limitada por
.
©
Determine se a equação é exata. Se for, resolva-a.
Um corpo pode estar acelerado e ter velocidade nula? Dê exemplo.