Resolva as EDO abaixo utilizando o método do fator integrante:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária (EDO) que é do tipo linear. A equação que temos é:
Aqui, a gente vai usar o método do fator integrante. Esse método é ótimo para resolver EDOs lineares da forma . Precisamos identificar e na nossa equação para seguir em frente.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar e :
Agora, vamos calcular o fator integrante , que é dado por:

Passo 3

Calculando o fator integrante:
Esse fator é importante porque, ao multiplicarmos toda a equação original por ele, conseguimos reescrever a EDO de uma forma que facilita a integração.

Passo 4

Vamos multiplicar toda a equação original por :
Perceba que o lado esquerdo da equação agora é a derivada de . Ou seja:

Passo 5

Agora, para encontrar , vamos integrar ambos os lados da equação:
Do lado esquerdo, a integral da derivada é simplesmente . Já do lado direito, temos que resolver a integral .

Passo 6

Vamos resolver a integral do lado direito usando substituição:
Seja , então ou .
Mas temos , que podemos escrever como . Então:
Agora, para resolver , usamos a técnica de integração por partes:
Seja e , então e .
Aplicando a fórmula de integração por partes ( ):
Voltando a :

Passo 7

Agora, substituindo de volta na equação onde integrávamos:
Para isolar , dividimos ambos os lados por :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

Exercícios relacionados

Resolva as EDO abaixo utilizando o método do fator integrante:
Exercício 1. Calcule a integral para os seguintes casos:
© e limitada por .
Determine se a equação é exata. Se for, resolva-a.
Um corpo pode estar acelerado e ter velocidade nula? Dê exemplo.