Resolva as EDO abaixo utilizando o método do fator integrante:
Passo 1
Beleza, a gente tem uma equação diferencial ordinária (EDO) do tipo
e vamos resolver usando o método do fator integrante. Primeiro, vamos entender que estamos lidando com uma equação linear de primeira ordem. Para resolver, precisamos encontrar um fator que simplifica a equação e facilita a integração.
Passo 2
A equação está na forma padrão
, onde
e
. O próximo passo é encontrar o fator integrante, que é uma função que, quando multiplicada na EDO, torna a esquerda da equação uma derivada exata.
Passo 3
O fator integrante
é dado por
. Vamos calcular:
Esse fator vai ser multiplicado em toda a equação para simplificar.
Passo 4
Multiplicando a EDO original pelo fator integrante:
A esquerda agora é a derivada de
, ou seja:
Passo 5
Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a
:
A integral do lado esquerdo simplifica para
. Para o lado direito, reconhecemos que
.
Passo 6
Então, temos:
Dividindo ambos os lados por
:
Resposta
A solução geral da EDO é:
Exercícios relacionados
Exercício 1. Calcule a integral
para os seguintes casos:
© e
limitada por
.
©
Exercício 1. Calcule a integral
para os seguintes casos:
(a) e
e
.
(a)
Resolva as EDO abaixo utilizando o método do fator integrante:
Determine se a equação é exata. Se for, resolva-a.