Determine a equação da reta que satisfaz as seguintes condições: a) A declividade é 4 e passa pelo ponto A(2,-3) b) A inclinação é de 45º e passa pelo ponto P(4,1) c) Passa pelo ponto M(-2,-5) e tem coeficiente angular 0. d) Passa pelos pontos A(3,1) e B(-5,4) e) Passa pelo ponto P(-3,-4) e é paralela ao eixo y f) Tem coeficiente angular e passa pelo ponto A(2,-3) g) Passa pelo ponto P(1,-7) e é paralela ao eixo x h) Passa pelos pontos A(1,1) e B(-2,-2)
Passo 1
Olá! Vamos resolver um exercício de geometria analítica onde precisamos encontrar a equação de diferentes retas com base em certas condições. Vamos precisar entender conceitos como coeficiente angular (declividade), inclinação em graus, e como determinar equações de retas a partir de pontos e inclinações. Vamos resolver cada item de a) até h) passo a passo.
Passo 2
a) A declividade é 4 e passa pelo ponto A(2, -3).
Primeiro, a declividade de uma reta é o coeficiente angular, que indica a inclinação da reta. Sabemos que o coeficiente angular $ m = 4 $ e que a reta passa pelo ponto $ A(2, -3) $.
A fórmula da equação da reta com coeficiente angular $ m $ e passando pelo ponto $ (x_1, y_1) $ é:
Substituindo os valores:
Passo 3
b) A inclinação é de 45º e passa pelo ponto P(4, 1).
A inclinação em graus nos permite encontrar o coeficiente angular usando a tangente:
Para $ \theta = 45^\circ $:
Usando a fórmula da reta:
Passo 4
c) Passa pelo ponto M(-2, -5) e tem coeficiente angular 0.
Quando o coeficiente angular $ m = 0 $, a reta é horizontal e tem a forma:
Onde $ b $ é a coordenada y de todos os pontos da reta.
Sabemos que a reta passa por $ M(-2, -5) $, então:
Passo 5
d) Passa pelos pontos A(3, 1) e B(-5, 4).
Para encontrar a equação da reta que passa por dois pontos, primeiro calculamos o coeficiente angular $ m $:
Agora, usando a equação da reta com o ponto A(3,1):
Multiplicando ambos os lados por 8 para eliminar a fração:
Passo 6
e) Passa pelo ponto P(-3, -4) e é paralela ao eixo y.
Retas paralelas ao eixo y são linhas verticais com equação $ x = a $, onde $ a $ é a coordenada x de todos os pontos da reta.
Como a reta passa por $ P(-3, -4) $:
Passo 7
f) Tem coeficiente angular $ e $ e passa pelo ponto A(2, -3).
A constante $ e $ representa o coeficiente angular. Usando a equação da reta:
Passo 8
g) Passa pelo ponto P(1, -7) e é paralela ao eixo x.
Retas paralelas ao eixo x são linhas horizontais com equação $ y = b $, onde $ b $ é a coordenada y de todos os pontos da reta.
Como a reta passa por $ P(1, -7) $:
Passo 9
h) Passa pelos pontos A(1, 1) e B(-2, -2).
Calculamos o coeficiente angular $ m $:
Usando a equação da reta com o ponto A(1,1):
Resposta
As equações das retas são:
a) $ y = 4x - 11 $
b) $ y = x - 3 $
c) $ y = -5 $
d) $ y = -\frac{3}{8}x + \frac{17}{8} $
e) $ x = -3 $
f) $ y = e(x - 2) - 3 $
g) $ y = -7 $
h) $ y = x $
a) $ y = 4x - 11 $
b) $ y = x - 3 $
c) $ y = -5 $
d) $ y = -\frac{3}{8}x + \frac{17}{8} $
e) $ x = -3 $
f) $ y = e(x - 2) - 3 $
g) $ y = -7 $
h) $ y = x $