De acordo com o que foi estudado no texto da unidade 3, o volume do sólido que está abaixo da superfície z = f(x, y) e acima da região R qualquer do plano xy é dado por V = ∫ ∫ f(x, y) dædy Revisão Atividade 3 (A3) Selecione a resposta: A v = ∫ ∫ f(x, y)dx B v = ∫∫ f(x, y)dxdydz C 0 D v = ∫ ∫ f(x, y)dxdy E V = ∫ ∫ f(x, y)dy.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão está falando sobre calcular o volume de um sólido que fica abaixo de uma superfície $ z = f(x, y) $ e acima de uma região qualquer $ R $ no plano $ xy $. A gente estudou na Unidade 3 que para encontrar esse volume, usamos integrais duplas. Então, vamos precisar entender como configurar essa integral dupla para calcular o volume.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma integral dupla. Imagine que a gente quer somar um montão de pequenas “fatias” de volume que estão distribuídas na região $ R $ do plano $ xy $. Cada fatia tem uma altura igual a $ f(x, y) $, que é a função que define a superfície $ z $.
Passo 3
Para calcular o volume total, a gente integra essa altura $ f(x, y) $ sobre toda a região $ R $. Isso significa que vamos somar todos esses pequenos volumes $ f(x, y) , dx , dy $ em cada ponto da região.
Passo 4
A fórmula geral para o volume $ V $ é então dada por:
Aqui, $ \iint $ representa a integral dupla sobre a região $ R $, e $ dx , dy $ são os diferenciales nas direções $ x $ e $ y $.
Passo 5
Agora, vamos comparar essa fórmula com as alternativas apresentadas na questão:
A) $ V = \iint f(x, y) , dx $
B) $ V = \iiint f(x, y) , dx , dy , dz $
C) $ 0 $
D) $ V = \iint f(x, y) , dx , dy $
E) $ V = \iint f(x, y) , dy $
Passo 6
A alternativa que corresponde exatamente à fórmula que derivamos é a opção D:
As outras opções ou estão faltando uma variável de integração, ou incluem integrais triplas, que não são necessárias para esse cálculo específico.
Resposta
A resposta correta é a opção D: