integral1^2 2 ln (x)x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral definida de de 1 a 2. Aqui, a gente vai usar conceitos de cálculo integral, especialmente integrais que envolvem funções logarítmicas. Vamos precisar saber como integrar dividido por e aplicar o teorema fundamental do cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a constante 2 que está fora da fração. A integral fica assim:
2 integral1^2 ln(x)x , dx

Passo 3

Agora, precisamos lembrar como integrar . A antiderivada dessa função é . Isso porque, ao integrar sobre , podemos usar uma substituição simples onde .

Passo 4

Vamos aplicar o teorema fundamental do cálculo, que nos diz para avaliar a antiderivada nos limites de 1 a 2. Assim, temos:
2 [ (ln(2))^22 - (ln(1))^22 ]

Passo 5

Sabemos que 2 times (ln(2))^22 = (ln(2))^2 , então a segunda parte da expressão some:

Passo 6

Se quisermos o valor numérico, calculamos (0,6931)^2 approx 0,4805 . Então:

Resposta

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