Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função no ponto dado:
f(x) = (1 + 2 x)^2 ; x = 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para a gente encontrar a equação da reta tangente ao gráfico da função no ponto onde . Para isso, vamos precisar usar conhecimentos de derivadas, que nos ajudam a encontrar a inclinação da reta tangente em um ponto específico de uma função.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o valor de . Isso significa substituir por 1 na função:
Então, o ponto de tangência é .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada da função , que representa a inclinação da reta tangente em qualquer ponto . Vamos derivar .
Usando a regra da cadeia, onde se , então :

Passo 4

Com a derivada , vamos calcular para encontrar a inclinação da reta tangente no ponto :
Então, a inclinação da reta tangente é 12.

Passo 5

Agora que temos o ponto de tangência e a inclinação da reta , podemos usar a fórmula ponto-inclinação para encontrar a equação da reta tangente:
Substituindo os valores:
Vamos simplificar para a forma padrão :

Resposta

A equação da reta tangente ao gráfico da função no ponto é:

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Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função no ponto dado:
f(x)=-1/3 * x^3 + raiz(8 * x) ; x=2
Utilizando as regras de diferenciação, determine a derivada de cada função:
f(x) = x^2 * e^x - 2 * x * e^x + 2 * e^x
Determine a derivada de cada função utilizando a regra da cadeia.
f(x)=2/(6x^2+5x+1)^2
Determine a derivada de cada função utilizando a regra da cadeia.
f(x) = 2(3 x + 1)^(4)(5 x - 3)^(3)