Determine a derivada de cada função utilizando a regra da cadeia.
f(x) = 2(3 x + 1)^(4)(5 x - 3)^(3)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar a derivada da função usando a regra da cadeia. A função dada é:
Para resolver isso, vamos precisar entender a regra da cadeia e também a regra do produto, já que temos duas funções multiplicadas. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da função que serão derivadas. A função é um produto de duas partes:
Então, nossa função pode ser reescrita como:

Passo 3

Agora, para derivar f(x), vamos usar a regra do produto, que diz que a derivada de é . Além disso, vamos precisar aplicar a regra da cadeia para derivar u(x) e v(x).

Passo 4

Vamos começar derivando usando a regra da cadeia. A regra da cadeia diz que a derivada de uma função composta g(h(x)) é .
Aqui, e . Então:

Passo 5

Agora, vamos derivar também usando a regra da cadeia. Aqui, e . Então:

Passo 6

Agora que temos e , vamos aplicar a regra do produto para derivar f(x):
Substituindo os valores que encontramos:

Passo 7

Vamos simplificar a expressão fatorando os termos comuns. Observamos que e são comuns em ambos os termos:

Passo 8

Agora, simplificamos dentro dos colchetes:
Somando-os:

Passo 9

Substituindo de volta na expressão:
Podemos fatorar o 105x - 21:
Portanto:
E simplificando os coeficientes:

Resposta

A derivada da função é:

Exercícios relacionados

Determine a derivada de cada função utilizando a regra da cadeia.
f(x)=2/(6x^2+5x+1)^2
Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função no ponto dado:
f(x) = (1 + 2 x)^2 ; x = 1
Seja a>0. Use a Regra de L lim x +infty x^aln x=+infty
Então:
b) Mostre que e^-x^a para todo x suficientemente grande.
Determine a derivada de cada função utilizando a regra da cadeia.
f(x) = e^(x^2 + 3x)