Determine a derivada de cada função utilizando a regra da cadeia.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a derivada da função
usando a regra da cadeia. Esse exercício faz parte do cálculo de derivadas, especificamente aplicando a regra da cadeia para funções compostas. Para isso, vamos precisar conhecer como aplicar a derivada de uma função composta e utilizar as regras de derivação de potências e funções polinomiais.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função para facilitar a aplicação da regra da cadeia. Podemos expressar
como:
Assim, identificamos que temos uma função externa
e uma função interna
.
Passo 3
A regra da cadeia nos diz que a derivada de uma função composta
é:
Aplicando isso à nossa função, temos que derivar a função externa em relação a
e multiplicar pela derivada da função interna em relação a
.
Passo 4
Primeiro, vamos derivar a função externa
em relação a
:
Isso nos dá a derivada da parte externa.
Passo 5
Agora, derivamos a função interna
em relação a
:
Essa é a derivada da parte interna.
Passo 6
Aplicando a regra da cadeia, multiplicamos as duas derivadas que encontramos:
Substituímos
de volta:
Resposta
A derivada da função é:
Exercícios relacionados
Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função no ponto dado:
Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função no ponto dado:
Determine a derivada de cada função utilizando a regra da cadeia.
Seja
. Use a Regra de L
Então:
b) Mostre que para todo
suficientemente grande.
b) Mostre que