Determine as equações das assíntotas horizontais e verticais, se existirem, nos seguintes casos:
a) f(x) = (5x + 3) / (x - 2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar as assíntotas horizontais e verticais da função . Para isso, vamos usar conceitos de funções racionais, que são frações onde tanto o numerador quanto o denominador são polinômios. Precisamos identificar onde a função se comporta de forma especial, como quando se aproxima de certos valores que fazem o denominador zero ou quando vai para o infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a assíntota vertical. Isso acontece quando o denominador da função é zero, pois a função não está definida nesses pontos e o gráfico se aproxima de uma linha vertical.
Vamos igualar o denominador a zero:
Resolvendo para :
Então, temos uma assíntota vertical em .

Passo 3

Agora, vamos encontrar a assíntota horizontal. Ela ocorre quando tende ao infinito ou menos infinito, e a função se aproxima de uma linha horizontal. Para funções racionais, se o grau do numerador e do denominador for igual, a assíntota horizontal é o quociente dos coeficientes dos termos de maior grau.
No nosso caso, tanto o numerador quanto o denominador são polinômios de grau 1. Então, a assíntota horizontal será:

Resposta

A função possui uma assíntota vertical em e uma assíntota horizontal em .

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