Usando as propriedades, calcule os seguintes limites:
q) lim z 2 z^3-8z-2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: . Esse exercício envolve o tema de limites de funções polinomiais. Para resolver, vamos precisar usar propriedades de limites e fatoração de polinômios, especialmente a fatoração de diferenças de cubos.

Passo 2

Primeiro, vamos observar o numerador a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) . Isso se parece com uma diferença de cubos, já que é . A fórmula para fatorar uma diferença de cubos é:
Aqui, e . Vamos aplicar essa fórmula.

Passo 3

Aplicando a fatoração:
z^3 - 8 = z^3 - 2^3 = (z - 2)(z^2 + 2z + 4)
Agora, substituímos essa fatoração na expressão original do limite:
z^3 - 8z - 2 = (z - 2)(z^2 + 2z + 4)z - 2

Passo 4

Agora, podemos simplificar a fração. O termo (z - 2)(z^2 + 2z + 4)z - 2 = z^2 + 2z + 4 (para z neq 2) está presente tanto no numerador quanto no denominador, então podemos cancelar:

Passo 5

Com a expressão simplificada, agora podemos calcular o limite substituindo lim z 2 (z^2 + 2z + 4) = (2)^2 + 2 times 2 + 4 por 2 diretamente:

Passo 6

Vamos fazer as contas:
(2)^2 = 4
2 times 2 = 4
4 + 4 + 4 = 12

Resposta

lim z 2 z^3-8z-2 = 12

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