Determine as equações cartesiana e paramétrica da reta ortogonal ao vetor u=(3,2) e que passa pelo ponto D(-1,1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver um exercício de geometria analítica. A gente precisa encontrar as equações cartesiana e paramétrica de uma reta que é ortogonal (perpendicular) ao vetor u = (3,2) e que passa pelo ponto D(-1,1). Para isso, vamos precisar entender como encontrar vetores perpendiculares e usar as fórmulas das equações de reta.

Passo 2

Primeiro, vamos achar um vetor que seja perpendicular ao vetor dado u = (3,2). Dois vetores são perpendiculares se o produto interno deles for zero. Mas tem uma maneira mais rápida: trocar as componentes do vetor e mudar o sinal de uma delas. Então, se eu tenho u = (3,2), um vetor perpendicular pode ser v = (-2,3).

Passo 3

Agora que temos o vetor ortogonal v = (-2,3), vamos usar ele para achar a equação paramétrica da reta. A equação paramétrica de uma reta que passa por um ponto D(x0, y0) e tem vetor diretor v = (a,b) é dada por:
x = x0 + at y = y0 + bt
onde t é o parâmetro.

Passo 4

Substituindo os valores que temos, o ponto D(-1,1) e o vetor v = (-2,3), a equação paramétrica fica:
x = -1 - 2t y = 1 + 3t
Essas são as equações paramétricas da reta que estamos procurando.

Passo 5

Agora, vamos achar a equação cartesiana da reta. Para isso, podemos eliminar o parâmetro t das equações paramétricas. Da primeira equação:
t = x + 1-2
Substituindo esse valor de t na segunda equação:
y = 1 + 3(x + 1-2) y = 1 - 32(x + 1) y = 1 - 32x - 32 y = -32x - 12
Então, a equação cartesiana da reta é y = -32x - 12.

Resposta

As equações da reta são:
Equação paramétrica:
x = -1 - 2t y = 1 + 3t
Equação cartesiana:
y = -32x - 12

Exercícios relacionados

Determine a equação cartesiana da reta que é paralela ao vetor u=(5,-1) e passa pelo ponto P(2,1).
Verifique que, dados os vetores u=(u1, u2), v=(v1, v2) e w=(w1, w2), o produto interno satisfaz lang<=alpha u, vrang<==alphalang<=u, vrang<=, onde alpha in R.
Seja v=(1,5) e w=(-1,2). Determine o vetor u tal que u+v=w.
Para cada vetor v de coordenadas definidas abaixo, calcule o valor do escalar alpha in R tal que o vetor w definido por w=alpha v tenha a norma pedida. v=(-1,3) e |w|=2.