Determine as equações cartesiana e paramétrica da reta ortogonal ao vetor
e que passa pelo ponto
Passo 1
Beleza, vamos resolver um exercício de geometria analítica. A gente precisa encontrar as equações cartesiana e paramétrica de uma reta que é ortogonal (perpendicular) ao vetor
e que passa pelo ponto
. Para isso, vamos precisar entender como encontrar vetores perpendiculares e usar as fórmulas das equações de reta.
Passo 2
Primeiro, vamos achar um vetor que seja perpendicular ao vetor dado
. Dois vetores são perpendiculares se o produto interno deles for zero. Mas tem uma maneira mais rápida: trocar as componentes do vetor e mudar o sinal de uma delas. Então, se eu tenho
, um vetor perpendicular pode ser
.
Passo 3
Agora que temos o vetor ortogonal
, vamos usar ele para achar a equação paramétrica da reta. A equação paramétrica de uma reta que passa por um ponto
e tem vetor diretor
é dada por:
onde
é o parâmetro.
Passo 4
Substituindo os valores que temos, o ponto
e o vetor
, a equação paramétrica fica:
Essas são as equações paramétricas da reta que estamos procurando.
Passo 5
Agora, vamos achar a equação cartesiana da reta. Para isso, podemos eliminar o parâmetro
das equações paramétricas. Da primeira equação:
Substituindo esse valor de
na segunda equação:
Então, a equação cartesiana da reta é
.
Resposta
As equações da reta são:
Equação paramétrica:
Equação cartesiana:
Exercícios relacionados
Determine a equação cartesiana da reta que é paralela ao vetor
e passa pelo ponto
.
Verifique que, dados os vetores
e
, o produto interno satisfaz
, onde
.
Seja
e
. Determine o vetor
tal que
.
Para cada vetor
de coordenadas definidas abaixo, calcule o valor do escalar
tal que o vetor
definido por
tenha a norma pedida.
e
.