Para cada vetor v de coordenadas definidas abaixo, calcule o valor do escalar alpha in R tal que o vetor w definido por w=alpha v tenha a norma pedida. v=(-1,3) e |w|=2.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício pede. Temos um vetor v = (-1, 3) e queremos encontrar um número real alpha tal que o vetor w = alpha v tenha uma norma (comprimento) igual a 2. Para isso, vamos usar o conceito de norma de vetor e como multiplicar um vetor por um escalar afeta essa norma.

Passo 2

Primeiro, lembrando que a norma de um vetor w = (w1, w2) é calculada pela fórmula:
|w| = raizw1^2 + w2^2
No nosso caso, como w = alpha v = (alpha cdot (-1), alpha cdot 3), a norma fica:
|w| = raiz(alpha cdot (-1))^2 + (alpha cdot 3)^2

Passo 3

Queremos que essa norma seja igual a 2. Então, montamos a equação:
raiz(alpha cdot (-1))^2 + (alpha cdot 3)^2 = 2

Passo 4

Vamos simplificar essa expressão. Primeiro, elevando ao quadrado ambos os lados para eliminar a raiz:
(alpha cdot (-1))^2 + (alpha cdot 3)^2 = 2^2
Que fica:
alpha^2 cdot 1 + alpha^2 cdot 9 = 4
Somando os termos semelhantes:
10alpha^2 = 4

Passo 5

Agora, isolamos alpha^2:
alpha^2 = 410 = 25
Para encontrar alpha, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
alpha = pm raiz25 = pm raiz105

Resposta

O valor do escalar alpha é alpha = raiz105 ou alpha = -raiz105.

Exercícios relacionados

Seja v=(1,5) e w=(-1,2). Determine o vetor u tal que u+v=w.
Determine as equações cartesiana e paramétrica da reta ortogonal ao vetor u=(3,2) e que passa pelo ponto D(-1,1)
Para cada vetor v de coordenadas definidas abaixo, calcule o valor do escalar alpha in R tal que o vetor w definido por w=alpha v tenha a norma pedida. v=(0,3) e |w|=1.
Considere o vetor u=(2,5). Determine alpha tal que o vetor v=(alpha, 1) seja ortogonal ao vetor u.