Determine ou estime o comprimento de onda de de Broglie associado a:
c) o elétron do átomo de hidrogênio segundo a análise de Bohr no seu estado fundamental.
Considerando o caso do item b), suponha que a pressão no balão de oxigênio seja igual a 1 bar (=10^5 Pa). O volume médio ocupado por cada molécula é igual a V / N, onde V é o volume do balão e N, o número de moléculas. A separação média entre as moléculas pode ser estimada por
d=(V / N)^1 / 3
Compare o comprimento de onda ( lambda ) calculado em b) com essa separação média (d). Quando lambda tilde< d, efeitos quânticos tornam-se relevantes.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para a gente determinar o comprimento de onda de de Broglie do elétron no átomo de hidrogênio, usando o modelo de Bohr no estado fundamental. Isso envolve conceitos de física quântica e mecânica clássica. Para resolver, vamos precisar lembrar das fórmulas do modelo de Bohr e da relação de de Broglie para o comprimento de onda.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar do que é o comprimento de onda de de Broglie. Esse conceito nos diz que toda partícula tem uma natureza ondulatória, ou seja, além de se comportar como partícula, também pode se comportar como onda. A fórmula para o comprimento de onda de de Broglie é:
lambda = hp
onde é o comprimento de onda, é a constante de Planck ( J·s), e é o momento linear da partícula.

Passo 3

No modelo de Bohr para o átomo de hidrogênio, o elétron se move em órbitas circulares ao redor do núcleo. No estado fundamental, a órbita é a mais próxima possível do núcleo. A condição de quantização de Bohr estabelece que o momento angular do elétron é igual a um múltiplo inteiro de me v r = n h2pi :
Para o estado fundamental, . Aqui, é a massa do elétron, é a velocidade, e é o raio da órbita.

Passo 4

Vamos calcular o momento p = me v do elétron. Sabemos que:
v = n h2pi me r
Para encontrar v = h2pi me r , vamos rearranjar a equação de Bohr:
Substituindo :

Passo 5

Agora, precisamos do valor do raio da órbita no estado fundamental. No modelo de Bohr, o raio de Bohr é dado por:
r = 4pi epsilon0 hbar^2me e^2
onde é a permissividade do vácuo, é a constante reduzida de Planck ( ), e é a carga do elétron.
Para o estado fundamental, metros.

Passo 6

Agora que temos v = h2pi me r , podemos calcular v = 6,626 times 10^-342pi times 9,109 times 10^-31 times 5,29 times 10^-11 approx 2,19 times 10^6 m/s :
Substituindo os valores:
  • J·s
  • kg
  • m

Passo 7

Com a velocidade p = me v = 9,109 times 10^-31 times 2,19 times 10^6 approx 1,995 times 10^-24 kg·m/s , calculamos o momento :

Passo 8

Finalmente, aplicamos a fórmula de de Broglie para encontrar lambda = hp = 6,626 times 10^-341,995 times 10^-24 approx 3,32 times 10^-10 metros :

Resposta

O comprimento de onda de de Broglie do elétron no estado fundamental do átomo de hidrogênio é aproximadamente metros.

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