Aplique o procedimento de quantização de Wilson e Sommerfeld para determinar os níveis de energia do seguinte sistema físico: um haltere com duas massas
pontuais separadas por uma distância
e conectadas por uma haste de massa desprezível. O haltere pode girar em torno de um eixo perpendicular à haste e passando pelo seu centro. Aplique o seu resultado para estimar a freqüência típica do espectro rotacional de emissão/absorção de radiação por uma molécula diatômica a) de hidrogênio e b) de oxigênio. (você vai ter que procurar valores para a separação entre os átomos). Identifique a faixa dessas freqüências, dizendo se trata-se de infra-vermelho ou micro-ondas ou ondas de rádio, etc.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente aplicar o procedimento de quantização de Wilson e Sommerfeld para encontrar os níveis de energia de um haltere formado por duas massas
separadas por uma distância
. Depois, vamos usar esse resultado para estimar a frequência típica do espectro rotacional de moléculas diatômicas, especificamente de hidrogênio (H₂) e oxigênio (O₂). Para isso, vamos precisar conhecer a separação entre os átomos dessas moléculas.
Passo 2
Primeiramente, vamos entender o sistema físico: temos duas massas
conectadas por uma haste de massa desprezível, formando um haltere que gira em torno de um eixo perpendicular à haste e passando pelo centro. Esse é um modelo simplificado de uma molécula diatômica.
Para aplicar a quantização de Wilson e Sommerfeld, precisamos calcular o momento de inércia
do sistema, que é essencial para determinar os níveis de energia rotacional.
Passo 3
O momento de inércia
para esse sistema é dado por:
Como as duas massas estão a uma distância
do centro, temos
. Então:
Passo 4
Agora, a energia rotacional quantizada segundo Wilson e Sommerfeld é dada por:
onde
é a constante de Planck reduzida (
J·s) e
é o número quântico rotacional (n = 1, 2, 3, …).
Substituindo
na equação:
Passo 5
A frequência rotacional
está relacionada à energia por:
onde
é a constante de Planck (
J·s).
Igualando as duas expressões para
:
Simplificando para encontrar
:
Para a frequência típica, consideramos
:
Passo 6
Agora vamos aplicar essa fórmula para as moléculas de hidrogênio (H₂) e oxigênio (O₂). Precisamos dos valores da massa das moléculas e da separação entre os átomos.
Para H₂:
- Massa molecular
kg (massa de um próton) - Separação
m, então m
Para O₂:
- Massa molecular
kg - Separação
m, então m
Passo 7
Vamos calcular
para cada molécula.
Para H₂:
Para O₂:
Resposta
As frequências típicas dos espectros rotacionais são aproximadamente
Hz para H₂ e
Hz para O₂. Essas frequências estão na faixa do micro-ondas.