Aplique o procedimento de quantização de Wilson e Sommerfeld para determinar os níveis de energia do seguinte sistema físico: um haltere com duas massas pontuais separadas por uma distância e conectadas por uma haste de massa desprezível. O haltere pode girar em torno de um eixo perpendicular à haste e passando pelo seu centro. Aplique o seu resultado para estimar a freqüência típica do espectro rotacional de emissão/absorção de radiação por uma molécula diatômica a) de hidrogênio e b) de oxigênio. (você vai ter que procurar valores para a separação entre os átomos). Identifique a faixa dessas freqüências, dizendo se trata-se de infra-vermelho ou micro-ondas ou ondas de rádio, etc.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente aplicar o procedimento de quantização de Wilson e Sommerfeld para encontrar os níveis de energia de um haltere formado por duas massas separadas por uma distância . Depois, vamos usar esse resultado para estimar a frequência típica do espectro rotacional de moléculas diatômicas, especificamente de hidrogênio (H₂) e oxigênio (O₂). Para isso, vamos precisar conhecer a separação entre os átomos dessas moléculas.

Passo 2

Primeiramente, vamos entender o sistema físico: temos duas massas conectadas por uma haste de massa desprezível, formando um haltere que gira em torno de um eixo perpendicular à haste e passando pelo centro. Esse é um modelo simplificado de uma molécula diatômica.
Para aplicar a quantização de Wilson e Sommerfeld, precisamos calcular o momento de inércia do sistema, que é essencial para determinar os níveis de energia rotacional.

Passo 3

O momento de inércia para esse sistema é dado por:
Como as duas massas estão a uma distância do centro, temos . Então:

Passo 4

Agora, a energia rotacional quantizada segundo Wilson e Sommerfeld é dada por:
onde é a constante de Planck reduzida ( J·s) e é o número quântico rotacional (n = 1, 2, 3, …).
Substituindo na equação:

Passo 5

A frequência rotacional está relacionada à energia por:
onde é a constante de Planck ( J·s).
Igualando as duas expressões para :
Simplificando para encontrar :
Para a frequência típica, consideramos :

Passo 6

Agora vamos aplicar essa fórmula para as moléculas de hidrogênio (H₂) e oxigênio (O₂). Precisamos dos valores da massa das moléculas e da separação entre os átomos.
Para H₂:
  • Massa molecular kg (massa de um próton)
  • Separação m, então m
Para O₂:
  • Massa molecular kg
  • Separação m, então m

Passo 7

Vamos calcular para cada molécula.
Para H₂:
Para O₂:

Resposta

As frequências típicas dos espectros rotacionais são aproximadamente Hz para H₂ e Hz para O₂. Essas frequências estão na faixa do micro-ondas.

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