Aplique o procedimento de quantização de Wilson e Sommerfeld para determinar os níveis de energia do seguinte sistema físico: um haltere com duas massas M pontuais separadas por uma distância 2 d e conectadas por uma haste de massa desprezível. O haltere pode girar em torno de um eixo perpendicular à haste e passando pelo seu centro. Aplique o seu resultado para estimar a freqüência típica do espectro rotacional de emissão/absorção de radiação por uma molécula diatômica a) de hidrogênio e b) de oxigênio. (você vai ter que procurar valores para a separação entre os átomos). Identifique a faixa dessas freqüências, dizendo se trata-se de infra-vermelho ou micro-ondas ou ondas de rádio, etc.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente aplicar o procedimento de quantização de Wilson e Sommerfeld para encontrar os níveis de energia de um haltere formado por duas massas separadas por uma distância . Depois, vamos usar esse resultado para estimar a frequência típica do espectro rotacional de moléculas diatômicas, especificamente de hidrogênio (H₂) e oxigênio (O₂). Para isso, vamos precisar conhecer a separação entre os átomos dessas moléculas.

Passo 2

Primeiramente, vamos entender o sistema físico: temos duas massas conectadas por uma haste de massa desprezível, formando um haltere que gira em torno de um eixo perpendicular à haste e passando pelo centro. Esse é um modelo simplificado de uma molécula diatômica.
Para aplicar a quantização de Wilson e Sommerfeld, precisamos calcular o momento de inércia do sistema, que é essencial para determinar os níveis de energia rotacional.

Passo 3

O momento de inércia I = M r1^2 + M r2^2 para esse sistema é dado por:
I = M d^2 + M d^2 = 2 M d^2
Como as duas massas estão a uma distância do centro, temos . Então:

Passo 4

Agora, a energia rotacional quantizada segundo Wilson e Sommerfeld é dada por:
En = hbar^22 I n^2
onde En = hbar^24 M d^2 n^2 é a constante de Planck reduzida ( J·s) e é o número quântico rotacional (n = 1, 2, 3, …).
Substituindo na equação:

Passo 5

A frequência rotacional En = h nu n está relacionada à energia por:
hbar^24 M d^2 n^2 = h nu n
onde nu = hbar4 pi M d^2 n é a constante de Planck ( nu = hbar4 pi M d^2 J·s).
Igualando as duas expressões para :
Simplificando para encontrar :
Para a frequência típica, consideramos :

Passo 6

Agora vamos aplicar essa fórmula para as moléculas de hidrogênio (H₂) e oxigênio (O₂). Precisamos dos valores da massa das moléculas e da separação entre os átomos.
Para H₂:
  • Massa molecular kg (massa de um próton)
  • Separação m, então m
Para O₂:
  • Massa molecular kg
  • Separação m, então m

Passo 7

Vamos calcular nu = 1.0545718 times 10^-344 pi times 3.347115 times 10^-27 times (37 times 10^-12)^2 approx 1.49 times 10^11 Hz para cada molécula.
Para H₂:
nu = 1.0545718 times 10^-344 pi times 5.321716 times 10^-26 times (60.5 times 10^-12)^2 approx 3.20 times 10^10 Hz
Para O₂:

Resposta

As frequências típicas dos espectros rotacionais são aproximadamente Hz para H₂ e Hz para O₂. Essas frequências estão na faixa do micro-ondas.

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