Determine as expressões para a soma superior e para a soma inferior de f(x) = 5 - x^2, considerando x pertence a [1,2].

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar as expressões para a soma superior e para a soma inferior da função no intervalo . Isso faz parte do estudo de somatórios de Riemann, que ajudam a aproximar a área sob uma curva. Vamos precisar entender como dividir o intervalo em partes menores e calcular os valores máximos e mínimos da função em cada uma dessas partes.

Passo 2

Primeiro, vamos dividir o intervalo em subintervalos iguais. Cada subintervalo terá comprimento .

Passo 3

Agora, vamos identificar os pontos de divisão. Para , os pontos são dados por:
Esses pontos dividem o intervalo em partes iguais.

Passo 4

Para a soma superior, em cada subintervalo , a gente busca o maior valor que a função atinge. Como é uma função decrescente no intervalo (porque o termo domina e a derivada é negativa), o valor máximo em cada subintervalo será no início do subintervalo, ou seja, em .

Passo 5

Portanto, a soma superior é:

Passo 6

Já para a soma inferior, precisamos do menor valor que a função alcança em cada subintervalo. Como é decrescente, o valor mínimo será no final do subintervalo, em .

Passo 7

Assim, a soma inferior fica:

Resposta

As expressões para a soma superior e para a soma inferior de no intervalo são:

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