Utilize somas superiores para calcular a área da região situada entre as curvas y = x^4 + 2, x = 0, x = 1 e y = 0.

Passo 1

Vamos entender o que precisamos fazer. Queremos calcular a área da região localizada entre as curvas , , e . Para isso, vamos usar as somas superiores, uma técnica do cálculo integral que nos ajuda a aproximar áreas sob curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos dividir o intervalo de a em subintervalos iguais. O comprimento de cada subintervalo será .

Passo 3

Em cada subintervalo, precisamos encontrar o valor máximo da função . Como essa função é crescente no intervalo (ou seja, quanto maior o , maior o ), o valor máximo em cada subintervalo ocorrerá no ponto direito. Portanto, para o -ésimo subintervalo, o ponto direito é .

Passo 4

A soma superior é a soma de todos esses valores máximos multiplicados pelo comprimento do subintervalo. Matemáticamente, fica assim:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão:

Passo 6

Sabemos que:
e
Substituindo na expressão de :

Passo 7

Agora, vamos calcular o limite dessa soma quando tende a infinito para encontrar a área exata:

Resposta

A área da região é unidades quadradas.

Exercícios relacionados

Utilize soma de áreas de retângulos circunscritos para calcular integral0^4(-x^2-1) d x.
Dada a função f: [-2, 5] -> R definida por f(x) = x^2 + 2 encontre S(f, P).
Utilize a definição de integral definida, com retângulos inscritos, para calcular integral1^3(x^2- 2 x) d x.
Determine as expressões para a soma superior e para a soma inferior de f(x) = 5 - x^2, considerando x pertence a [1,2].