Utilize somas superiores para calcular a área da região situada entre as curvas e .
Passo 1
Vamos entender o que precisamos fazer. Queremos calcular a área da região localizada entre as curvas , , e . Para isso, vamos usar as somas superiores, uma técnica do cálculo integral que nos ajuda a aproximar áreas sob curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos dividir o intervalo de a em subintervalos iguais. O comprimento de cada subintervalo será .
Passo 3
Em cada subintervalo, precisamos encontrar o valor máximo da função . Como essa função é crescente no intervalo (ou seja, quanto maior o , maior o ), o valor máximo em cada subintervalo ocorrerá no ponto direito. Portanto, para o -ésimo subintervalo, o ponto direito é .
Passo 4
A soma superior é a soma de todos esses valores máximos multiplicados pelo comprimento do subintervalo. Matemáticamente, fica assim:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão:
Passo 6
Sabemos que:
e
Substituindo na expressão de :
Passo 7
Agora, vamos calcular o limite dessa soma quando tende a infinito para encontrar a área exata: