Utilize a definição de integral definida, com retângulos inscritos, para calcular
.
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente precisa calcular a integral definida de
usando a definição de integral com retângulos inscritos. Isso faz parte do estudo de Cálculo Integral, onde a gente estima a área sob uma curva usando somas de retângulos. Vamos precisar entender como funcionam essas somas e como aplicar isso para encontrar o resultado final.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função que estamos integrando:
. Queremos encontrar a área entre essa curva, o eixo x, e os limites de
e
.
Passo 3
Para usar retângulos inscritos, dividimos o intervalo de integração
em
subintervalos iguais. Cada subintervalo terá uma largura
.
Passo 4
Em cada subintervalo, escolhemos o ponto mais à esquerda para calcular a altura do retângulo (esse é o método dos retângulos à esquerda). Assim, o ponto
em cada subintervalo é dado por:
onde
.
Passo 5
A altura de cada retângulo é
. Então, a área de cada retângulo é:
Passo 6
Somando a área de todos os retângulos, temos a soma de Riemann:
Passo 7
Para encontrar a integral definida, tomamos o limite dessa soma quando
tende ao infinito:
Passo 8
No entanto, para facilitar, vamos calcular a integral usando a antiderivada, que é uma forma mais direta de encontrar o resultado. A antiderivada de
é
e a antiderivada de
é
.
Passo 9
Então, a antiderivada de
é:
Passo 10
Aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo, avaliando
nos limites de 3 e 1:
Passo 11
Calculando
:
Passo 12
Calculando
:
Resposta
Portanto, a integral definida é:
Exercícios relacionados
Utilize somas superiores para calcular a área da região situada entre as curvas
e
.
Utilize soma de áreas de retângulos circunscritos para calcular
.
Determine as expressões para a soma superior e para a soma inferior de
, considerando
.
Considere a função dada por
. Calcule:
a)
a)