Utilize a definição de integral definida, com retângulos inscritos, para calcular integral1^3(x^2- 2 x) d x.

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente precisa calcular a integral definida de usando a definição de integral com retângulos inscritos. Isso faz parte do estudo de Cálculo Integral, onde a gente estima a área sob uma curva usando somas de retângulos. Vamos precisar entender como funcionam essas somas e como aplicar isso para encontrar o resultado final.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função que estamos integrando: . Queremos encontrar a área entre essa curva, o eixo x, e os limites de e .

Passo 3

Para usar retângulos inscritos, dividimos o intervalo de integração em subintervalos iguais. Cada subintervalo terá uma largura .

Passo 4

Em cada subintervalo, escolhemos o ponto mais à esquerda para calcular a altura do retângulo (esse é o método dos retângulos à esquerda). Assim, o ponto xi = 1 + i cdot De em cada subintervalo é dado por:
onde .

Passo 5

A altura de cada retângulo é Ai = f(xi) cdot De. Então, a área de cada retângulo é:

Passo 6

Somando a área de todos os retângulos, temos a soma de Riemann:
Sn = sumi=0^n-1 ( (xi)^2 - 2xi ) cdot 2n

Passo 7

Para encontrar a integral definida, tomamos o limite dessa soma quando integral1^3 (x^2 - 2x) , dx = limn to infty Sn tende ao infinito:

Passo 8

No entanto, para facilitar, vamos calcular a integral usando a antiderivada, que é uma forma mais direta de encontrar o resultado. A antiderivada de é e a antiderivada de é .

Passo 9

Então, a antiderivada de F(x) = x^33 - x^2 é:

Passo 10

Aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo, avaliando integral1^3 (x^2 - 2x) , dx = F(3) - F(1) nos limites de 3 e 1:

Passo 11

Calculando F(3) = 3^33 - 3^2 = 273 - 9 = 9 - 9 = 0 :

Passo 12

Calculando F(1) = 1^33 - 1^2 = 13 - 1 = -23 :

Resposta

Portanto, a integral definida é:
integral1^3 (x^2 - 2x) , dx = 0 - (-23) = 23

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