Determine f(x) de modo que y = 2 x sen(x^2) seja solução de [y' + f(x)]' = y.

Passo 1

Vamos resolver o exercício onde precisamos encontrar a função de modo que seja solução da equação diferencial .
Matéria envolvida: Cálculo Diferencial, especificamente derivação de funções compostas e equações diferenciais.
O que vamos precisar: Saber como calcular derivadas de funções compostas e entender como manipular equações diferenciais de ordem superior.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de em relação a .
Dada , aplicamos a regra do produto para derivar:

Passo 3

Agora, vamos calcular :
Em seguida, precisamos derivar essa expressão novamente para obter :
Calculando cada derivada separadamente:
Somando todas as partes:

Passo 4

De acordo com a equação diferencial dada:
Substituindo e :
Agora, vamos isolar :

Passo 5

Para encontrar , precisamos integrar :
Vamos integrar cada termo separadamente.
Integrando :
Fazemos a substituição , então :
Integrando :
Usando novamente , :
Somando todas as integrais e simplificando:

Resposta

A função que satisfaz a equação diferencial dada é:
Onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados

(a) partial(x, y)partial(u, v) cdot partial(u, v)partial(x, y)=1
(b) partial(x, y)partial(u, v) cdot partial(u, v)partial(z, w)=partial(x, y)partial(z, w).
| x^2 + y^2 u = v | x + y^2 = u |
(a) Expresse as derivadas xu e yv em termos de x, y, u e v.
(b) Determine um par de funções x = x(u, v) e y = y(u, v) definidas pelo sistema (*).
(a) gamma é o retângulo de vértices (0,0), (0,1), (2,1) e (2,0) ; T(x,y)=(3x, 5y).
(b) gamma é o círculo x^2 + y^2 = 1 ; T(x, y) = (3x, 5y).
© gamma é o triângulo de vértices (0,0), (3,6), e (9,4) ; T(x, y) = (y / 2, x / 3).
(d) gamma é a reta 3x - 2y = 4 ; T(x, y) = (y / 2, x / 3).
(e) gamma é a reta x + 2y = 1 ; T(x, y) = (x - y, 2x + 3y).
(f) gamma é o quadrado de vértices (0,0), (1,-1), (2,0) e (1,1) ; T(x,y) = (5x + 4y, 2x - 3y).
(g) gamma é o círculo x^2 + y^2 = 1 ; T(x, y) = (5x + 4y, 2x - 3y).
(2,0) Utilize o teste dos caminhos para provar a não existência dos seguintes limite lim (x, y) (-1,0) (x+1)^2 y(x+1)^4+y^2