Determine
de modo que
seja solução de
.
Passo 1
Vamos resolver o exercício onde precisamos encontrar a função
de modo que
seja solução da equação diferencial
.
Matéria envolvida: Cálculo Diferencial, especificamente derivação de funções compostas e equações diferenciais.
O que vamos precisar: Saber como calcular derivadas de funções compostas e entender como manipular equações diferenciais de ordem superior.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de
em relação a
.
Dada
, aplicamos a regra do produto para derivar:
Passo 3
Agora, vamos calcular
:
Em seguida, precisamos derivar essa expressão novamente para obter
:
Calculando cada derivada separadamente:
Somando todas as partes:
Passo 4
De acordo com a equação diferencial dada:
Substituindo
e
:
Agora, vamos isolar
:
Passo 5
Para encontrar
, precisamos integrar
:
Vamos integrar cada termo separadamente.
Integrando
:
Fazemos a substituição
, então
:
Integrando
:
Usando novamente
,
:
Somando todas as integrais e simplificando:
Resposta
A função
que satisfaz a equação diferencial dada é:
Onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
(a)
(b) .
(b)
(a) Expresse as derivadas
xu e
yv em termos de
x, y, u e
v .
(b) Determine um par de funçõesx = x(u, v) e
y = y(u, v) definidas pelo sistema (*).
(b) Determine um par de funções
(a)
gamma é o retângulo de vértices
(0,0), (0,1), (2,1) e
(2,0) ; T(x,y)=(3x, 5y) .
(b)gamma é o círculo
x^2 + y^2 = 1 ; T(x, y) = (3x, 5y) .
©gamma é o triângulo de vértices
(0,0), (3,6) , e
(9,4) ; T(x, y) = (y / 2, x / 3) .
(d)gamma é a reta
3x - 2y = 4 ; T(x, y) = (y / 2, x / 3) .
(e)gamma é a reta
x + 2y = 1 ; T(x, y) = (x - y, 2x + 3y) .
(f)gamma é o quadrado de vértices
(0,0), (1,-1), (2,0) e
(1,1) ; T(x,y) = (5x + 4y, 2x - 3y) .
(g)gamma é o círculo
x^2 + y^2 = 1 ; T(x, y) = (5x + 4y, 2x - 3y) .
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)