(a) partial(x, y)partial(u, v) cdot partial(u, v)partial(x, y)=1
(b) partial(x, y)partial(u, v) cdot partial(u, v)partial(z, w)=partial(x, y)partial(z, w).

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente está lidando com derivadas parciais que envolvem mudanças de variáveis, mais especificamente os chamados determinantes jacobianos. A gente vai precisar entender como esses determinantes funcionam quando fazemos transformações de uma variável para outra.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o determinante jacobiano. Quando a gente tem duas variáveis, por exemplo, e , que dependem de outras duas variáveis, e , o jacobiano é o determinante da matriz das derivadas parciais de e em relação a e . Ele nos ajuda a entender como as áreas (ou volumes, em dimensões maiores) mudam quando fazemos essa transformação de variáveis.

Passo 3

Vamos começar com a parte (a) do exercício:
partial(x, y)partial(u, v) cdot partial(u, v)partial(x, y) = 1
Aqui, temos dois jacobianos multiplicados. O que isso significa? Bem, é como a transformação de para , e é a transformação inversa, de de volta para . Quando você multiplica esses dois determinantes, está basicamente aplicando uma transformação seguida de sua inversa, o que traz a gente de volta à situação original. Por isso, o produto dos dois dá 1.

Passo 4

Agora vamos para a parte (b):
partial(x, y)partial(u, v) cdot partial(u, v)partial(z, w) = partial(x, y)partial(z, w)
Aqui, temos uma composição de duas transformações: de para , e depois de para . O que o exercício está dizendo é que o jacobiano da transformação direta de para é igual ao produto dos jacobianos das transformações intermediárias. Isso faz sentido porque, quando você transforma em etapas, a mudança total é o quanto cada etapa contribui para a mudança final. Então, multiplicando os dois jacobianos, você está acumulando todas as variações das transformações realizadas.

Resposta

(a)
(b)

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© gamma é o triângulo de vértices (0,0), (3,6), e (9,4) ; T(x, y) = (y / 2, x / 3).
(d) gamma é a reta 3x - 2y = 4 ; T(x, y) = (y / 2, x / 3).
(e) gamma é a reta x + 2y = 1 ; T(x, y) = (x - y, 2x + 3y).
(f) gamma é o quadrado de vértices (0,0), (1,-1), (2,0) e (1,1) ; T(x,y) = (5x + 4y, 2x - 3y).
(g) gamma é o círculo x^2 + y^2 = 1 ; T(x, y) = (5x + 4y, 2x - 3y).