(a) Expresse as derivadas xu e yv em termos de x, y, u e v.
(b) Determine um par de funções x = x(u, v) e y = y(u, v) definidas pelo sistema (*).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado apresenta um sistema de equações envolvendo as variáveis , , e . A matéria em questão aqui é derivadas parciais e sistemas de equações não lineares. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de derivação implícita e métodos para encontrar funções definidas por um sistema de equações.
Passo 2
Começando pela parte (a), precisamos encontrar as derivadas parciais e . Isso significa que queremos saber como varia quando varia (mantendo constante) e como varia quando varia (mantendo constante).
Passo 3
Vamos usar a técnica de derivação implícita. Temos o sistema:
Vamos derivar cada equação em relação a e , tratando e como funções de e .
Passo 4
Primeiro, derivamos a primeira equação em relação a :
Isso resulta em:
Como é tratado como constante em relação a quando derivamos , temos :
Passo 5
Agora, derivamos a segunda equação em relação a :
Isso dá:
Passo 6
Temos agora um sistema de duas equações com duas incógnitas ( e ):
Resolvendo esse sistema, podemos expressar e em termos de , , e .
Passo 7
Resolvendo o sistema acima, isolamos :
Substituindo na primeira equação:
Simplificando:
Agrupando os termos com :
Então:
Passo 8
Agora que temos , substituímos de volta em :
Simplificando a expressão:
Passo 9
Para encontrar , seguimos um raciocínio similar. Derivamos o sistema em relação a :