Determine e faça o esboço do domínio das função abaixo:
a) z(x,y) = ln(9 – x2 – 9y2)
a) z(x,y) = ln(9 – x2 – 9y2)
Passo 1
Beleza, a gente precisa determinar e fazer o esboço do domínio da função $ z(x,y) = \ln(9 – x^2 – 9y^2) $. Aqui a gente vai lidar com logaritmos e inequações, então precisamos saber para quais valores de $ x $ e $ y $ a função está definida.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o logaritmo natural $ \ln(a) $ só está definido quando $ a > 0 $. Então, para a nossa função, o argumento dentro do logaritmo precisa ser maior que zero:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa inequação para descobrir quais valores de $ x $ e $ y $ satisfazem essa condição. Vamos reorganizar a inequação:
Multiplicando todos os termos por -1 (lembrando que isso inverte o sinal da desigualdade):
Passo 4
Para entender melhor essa expressão, vamos dividir todos os termos por 9:
Essa é a equação de uma elipse. Especificamente, é uma elipse centrada na origem
, com o semi-eixo maior de comprimento 3 na direção do eixo $ x $ (já que $ \sqrt{9} = 3 $) e o semi-eixo menor de comprimento 1 na direção do eixo $ y $.
Passo 5
Então, o domínio da função $ z(x,y) $ é todo o conjunto de pontos $ (x, y) $ que estão dentro dessa elipse. Isso significa que qualquer par $ (x, y) $ que faça $ \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{1} $ menor que 1 estará no domínio da função.
Resposta
O domínio da função $ z(x,y) = \ln(9 – x^2 – 9y^2) $ consiste de todos os pontos $ (x, y) $ que satisfazem $ \frac{x^2}{9} + y^2 < 1 $. Geometricamente, isso corresponde ao interior de uma elipse centrada na origem, com semi-eixo maior de 3 unidades ao longo do eixo $ x $ e semi-eixo menor de 1 unidade ao longo do eixo $ y $.