Determine o fluxo de F(x, y, z) = sen(x y z) i + x^2 y j + z^2 e^(z / 5) k através da parte do cilindro 4y^2 + z^2 = 4 que está acima do plano x y e entre os planos x = -2 e x = 2 com orientação para cima. Ilustre, usando um sistema algébrico computacional para desenhar o cilindro e o campo vetorial na mesma tela.

Passo 1

Então, vamos lá! O que precisamos resolver é calcular o fluxo do campo vetorial através da parte do cilindro definido por que está acima do plano (ou seja, onde ) e entre os planos e . Além disso, queremos que a orientação seja para cima. Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o cálculo de fluxos através de superfícies parametrizadas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a geometria da superfície. O cilindro pode ser reescrito como , que é um cilindro elíptico estendido ao longo do eixo . Estamos interessados na parte desse cilindro que está acima do plano , ou seja, onde , e limitado entre e .

Passo 3

Para calcular o fluxo, precisamos parametrizar a superfície do cilindro. Vamos escolher e como parâmetros, onde é o ângulo que descreve a posição ao redor do cilindro. A parametrização fica:
Aqui, e asseguram que .

Passo 4

Agora, vamos calcular os vetores tangentes à superfície, que são as derivadas parciais da parametrização em relação a e :

Passo 5

O próximo passo é encontrar o vetor normal à superfície, que é o produto vetorial desses vetores tangentes:

Passo 6

Como queremos a orientação para cima, precisamos garantir que o componente da normal seja positivo. Observando , vemos que o componente é . Para que seja positivo, podemos multiplicar o vetor normal por :

Passo 7

Agora, vamos calcular o produto escalar do campo vetorial com o vetor normal . Substituindo a parametrização na :
Então, o produto escalar é:

Passo 8

Agora, vamos expressar o elemento de área diferencial na parametrização, que é dado pelo módulo do vetor normal vezes o diferencial dos parâmetros:
No nosso caso, como parametrizamos de maneira que já está ajustado para a orientação, podemos considerar . Calculando o módulo de :
Simplificando:

Passo 9

Agora, vamos integrar o produto escalar sobre os limites de e . Os limites para são de a e para , como estamos cobrindo todo o cilindro ao redor, de a :

Passo 10

Essa integral pode ser bastante complexa para resolver manualmente devido à presença de termos como . Portanto, é recomendado utilizar um software de álgebra computacional, como o Wolfram Mathematica ou o Python com bibliotecas como NumPy e SciPy, para calcular o valor numérico do fluxo.

Passo 11

Além disso, para ilustrar o cilindro e o campo vetorial na mesma tela, podemos usar ferramentas de plotagem 3D disponíveis nesses softwares. Por exemplo, em Python, podemos usar o Matplotlib para desenhar o cilindro parametrizado e adicionar vetores representando o campo em pontos selecionados da superfície.

Resposta

O fluxo do campo vetorial através da parte do cilindro acima do plano e entre e com orientação para cima é dado pela integral dupla:
Esse valor pode ser calculado numericamente usando um software de álgebra computacional.

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