Determine a força resultante que atua em uma bola de ferro ( r=1,5 cm, rho=7,8 g / cm^3 ), no instante em que é solta, estando totalmente submersa em (a) água e (b) mercúrio ( rho=13,6 g / cm^3 ). Qual será a aceleração inicial da bola em cada caso?
Resp. (a) 0,94 N para baixo, 8,6 m / s^2 para baixo 2^(b) 0,80 N para cima, 7,3 m / s^2 para cima.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente calcular a força resultante que atua numa bola de ferro quando ela é solta, totalmente submersa em (a) água e (b) mercúrio. A gente vai usar conceitos de peso, empuxo e a segunda lei de Newton pra achar também a aceleração inicial da bola em cada caso. Primeiro, vamos precisar calcular o volume da bola e depois aplicar as fórmulas necessárias.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o volume da bola de ferro. A fórmula para o volume de uma esfera é:
V = 43 pi r^3
Onde é o raio da bola. Aqui, o raio .

Passo 3

Vamos calcular o volume:
V = 43 pi (1,5)^3 approx 43 pi times 3,375 approx 14,137 , cm^3

Passo 4

Agora, vamos calcular o peso da bola de ferro. A fórmula do peso é:
P = m times g
Primeiro, precisamos da massa m = rho times V = 7,8 times 14,137 approx 110,25 , g = 0,11025 , kg . Sabemos que a densidade P = 0,11025 times 9,8 approx 1,08 , N , então:
Com :

Passo 5

Vamos calcular o empuxo ( E = rhofluido times V times g ) que atua na bola. A fórmula do empuxo é:
V = 14,137 , cm^3 = 14,137 times 10^-6 , m^3
Para (a) água, E = 1000 times 14,137 times 10^-6 times 9,8 approx 0,1387 , N á.
Convertendo o volume para metros cúbicos:
Então:

Passo 6

A força resultante ( Fr = P - E = 1,08 - 0,1387 approx 0,94 , N , para baixo ) é a diferença entre o peso e o empuxo. Como a bola é de ferro e mais densa que a água, a força resultante será para baixo:

Passo 7

Agora, para encontrar a aceleração inicial ( Fr = m times a ), usamos a segunda lei de Newton:
a = Frm = 0,940,11025 approx 8,54 , m/s^2
Rearranjando para :
Arredondando, .

Passo 8

Vamos repetir o processo para (b) mercúrio. A densidade do mercúrio é E = 13600 times 14,137 times 10^-6 times 9,8 approx 1,88 , N ú.
Calculando o empuxo:

Passo 9

Calculando a força resultante no mercúrio. Agora, como o empuxo é maior que o peso da bola:
Fr = E - P = 1,88 - 1,08 approx 0,80 , N , para cima

Passo 10

Calculando a aceleração inicial no mercúrio:
a = Frm = 0,800,11025 approx 7,26 , m/s^2
Arredondando, .

Resposta

(a) A força resultante é de aproximadamente para baixo, com uma aceleração inicial de para baixo.
(b) A força resultante é de aproximadamente para cima, com uma aceleração inicial de para cima.

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