Determine a forma da autofunção total anti-simétrica normalizada para um sistema de três partículas no qual as interações podem ser ignoradas, cada uma partícula tendo seu estado quântico.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para determinar a forma da autofunção total anti-simétrica normalizada para um sistema de três partículas onde as interações podem ser ignoradas, e cada partícula tem seu próprio estado quântico. Isso está relacionado à matéria de mecânica quântica, especificamente sobre como descrever sistemas de várias partículas, garantindo que a função de onda respeite o princípio de exclusão de Pauli para férmions (partículas que obedecem essa regra, como os elétrons).
Para resolver isso, vamos precisar entender como construir uma função de onda anti-simétrica usando os estados quânticos individuais das partículas. A ferramenta chave aqui é o determinante de Slater, que nos ajuda a garantir que a função de onda seja anti-simétrica em relação à troca de partículas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em um sistema de partículas idênticas, a função de onda total deve ser simétrica ou anti-simétrica quando trocamos duas partículas. Para férmions, como os elétrons, a função de onda deve ser anti-simétrica. Isso significa que se trocarmos duas partículas, a função de onda muda de sinal:
Passo 3
Como as interações entre as partículas podem ser ignoradas, podemos tratar cada partícula independentemente e atribuir a cada uma um estado quântico distinto. Vamos chamar os estados quânticos individuais de , e para as três partículas, respectivamente.
Passo 4
Para garantir que a função de onda total seja anti-simétrica, usamos o determinante de Slater. Para três partículas, o determinante fica assim:
Aqui, o fator 1raiz6 é para garantir que a função esteja normalizada, ou seja, que a probabilidade total de encontrar as partículas seja igual a 1.
Essa expansão garante que a troca de qualquer par de partículas troque o sinal da função de onda, cumprindo a condição de anti-simetria.
Passo 6
Por fim, a autofunção total anti-simétrica normalizada para o sistema de três partículas é dada pelo determinante de Slater que construímos, garantindo tanto a anti-simetria quanto a normalização da função de onda.
Resposta
A autofunção total anti-simétrica normalizada para o sistema é