Determine a forma da autofunção total simétrica normalizada para um sistema de três partículas no qual as interações podem ser ignoradas, cada uma partícula tendo seu estado quântico.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um sistema com três partículas onde as interações entre elas são desprezíveis, ou seja, cada partícula está em seu próprio estado quântico sem influenciar as outras. Nosso objetivo é encontrar a forma da autofunção total que seja simétrica e normalizada. Para isso, vamos precisar usar conceitos de simetrização de funções de onda e normalização.
Passo 2
Como as interações entre as partículas são ignoradas, a autofunção total do sistema pode ser escrita como o produto das autofunções individuais de cada partícula. Ou seja, se cada partícula tem uma função de onda própria, podemos multiplicá-las para obter a função de onda conjunta.
Passo 3
Entretanto, queremos que a autofunção total seja simétrica. Isso significa que se trocarmos quaisquer duas partículas, a função de onda total não muda. Para garantir isso, precisamos somar todas as possíveis permutações das funções de onda individuais.
Passo 4
No caso de três partículas, existem 3! = 6 permutações possíveis. Vamos listar todas elas e somar essas combinações para obter a função de onda simétrica.
Passo 5
Por fim, para assegurar que a função resultante esteja normalizada, precisamos multiplicar a soma das permutações por um fator de normalização apropriado, que no caso de 6 termos será $ \frac{1}{\sqrt{6}} $.
Resposta
A autofunção total simétrica normalizada para as três partículas é dada por: