Calcule o campo elétrico produzido por um anel de raio
com densidade de carga
a uma distancia
do centro do anel na mediatriz que passa pelo mesmo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o campo elétrico produzido por um anel de raio
com densidade de carga
a uma distância
do centro do anel, na mediatriz que passa pelo mesmo.
Matéria envolvida: Eletrostática, especificamente o cálculo do campo elétrico devido a distribuições de carga simétricas.
O que vamos precisar: Conhecimento sobre a Lei de Coulomb, integração para somar contribuições de cargas diferentes e entender a simetria do problema para simplificar os cálculos.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar o anel. Imagine um círculo com raio
e uma carga distribuída uniformemente ao longo dele, com densidade linear de carga
(carga por unidade de comprimento). Queremos encontrar o campo elétrico em um ponto localizado na eixo do anel, a uma distância
do centro.
Passo 3
Para calcular o campo elétrico, vamos considerar um elemento pequeno de carga no anel. Vamos chamar esse elemento de
. Como a carga está distribuída uniformemente, temos:
onde
é um pequeno pedaço de comprimento do anel.
Passo 4
O campo elétrico gerado por esse elemento
no ponto onde queremos calcular o campo (a distância
ao longo do eixo) é dado pela Lei de Coulomb:
Aqui,
é a distância entre o elemento de carga e o ponto onde estamos calculando o campo, e
é o vetor unitário na direção de
.
Passo 5
No nosso caso, a distância
pode ser encontrada usando o teorema de Pitágoras, já que temos um triângulo retângulo formado pelo raio do anel
, a distância
e a hipotenusa
:
Como o ponto está no eixo do anel, a componente radial do campo elétrico
perpendicular ao eixo se cancela devido à simetria. Só precisamos considerar a componente ao longo do eixo
.
Passo 6
A componente ao longo do eixo
do campo elétrico gerado por
é:
onde
é o ângulo entre
e o eixo
. Podemos relacionar
com
e
:
Então,
Passo 7
Substituindo
na expressão acima:
Passo 8
Para obter o campo total
, integramos
ao redor de todo o anel. Como
percorre o perímetro do anel, a integral de
de
a
é simplesmente a circunferência do anel:
Passo 9
Simplificando a expressão:
Resposta
O campo elétrico no ponto a uma distância
ao longo do eixo do anel é: