Calcule o campo elétrico produzido por um anel de raio a com densidade de carga lambda a uma distancia z do centro do anel na mediatriz que passa pelo mesmo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o campo elétrico produzido por um anel de raio a com densidade de carga lambda a uma distância z do centro do anel, na mediatriz que passa pelo mesmo.
Matéria envolvida: Eletrostática, especificamente o cálculo do campo elétrico devido a distribuições de carga simétricas.
O que vamos precisar: Conhecimento sobre a Lei de Coulomb, integração para somar contribuições de cargas diferentes e entender a simetria do problema para simplificar os cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar o anel. Imagine um círculo com raio a e uma carga distribuída uniformemente ao longo dele, com densidade linear de carga lambda (carga por unidade de comprimento). Queremos encontrar o campo elétrico em um ponto localizado na eixo do anel, a uma distância z do centro.

Passo 3

Para calcular o campo elétrico, vamos considerar um elemento pequeno de carga no anel. Vamos chamar esse elemento de dq. Como a carga está distribuída uniformemente, temos:
dq = lambda , dell
onde dell é um pequeno pedaço de comprimento do anel.

Passo 4

O campo elétrico gerado por esse elemento dq no ponto onde queremos calcular o campo (a distância z ao longo do eixo) é dado pela Lei de Coulomb:
dE = 14pivarepsilon0 dqr^2 r
Aqui, r é a distância entre o elemento de carga e o ponto onde estamos calculando o campo, e r é o vetor unitário na direção de r.

Passo 5

No nosso caso, a distância r pode ser encontrada usando o teorema de Pitágoras, já que temos um triângulo retângulo formado pelo raio do anel a, a distância z e a hipotenusa r:
r = raiza^2 + z^2
Como o ponto está no eixo do anel, a componente radial do campo elétrico dE perpendicular ao eixo se cancela devido à simetria. Só precisamos considerar a componente ao longo do eixo z.

Passo 6

A componente ao longo do eixo z do campo elétrico gerado por dq é:
dEz = dE cdot costheta
onde theta é o ângulo entre r e o eixo z. Podemos relacionar costheta com z e r:
costheta = zr = zraiza^2 + z^2
Então,
dEz = 14pivarepsilon0 dqa^2 + z^2 cdot z

Passo 7

Substituindo dq = lambda , dell na expressão acima:
dEz = 14pivarepsilon0 lambda , dell cdot z(a^2 + z^2)^3/2

Passo 8

Para obter o campo total Ez, integramos dEz ao redor de todo o anel. Como dell percorre o perímetro do anel, a integral de dell de 0 a 2pi a é simplesmente a circunferência do anel:
Ez = 14pivarepsilon0 lambda z(a^2 + z^2)^3/2 integral0^2pi a dell = 14pivarepsilon0 lambda z(a^2 + z^2)^3/2 cdot 2pi a

Passo 9

Simplificando a expressão:
Ez = lambda z2varepsilon0 (a^2 + z^2)^3/2

Resposta

O campo elétrico no ponto a uma distância z ao longo do eixo do anel é:
E = lambda z2varepsilon0 (a^2 + z^2)^3/2

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