Determine uma fórmula para a derivada do produto misto entre três funções vetoriais u(t), v(t) e w(t), isto é, calcule
d/dt [u(t) . (v(t) x w(t))]

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a derivada do produto misto entre três funções vetoriais , vec(v)(t) e w(t). Isso significa que queremos calcular a derivada de . Para resolver isso, vamos precisar usar as regras de derivação de produtos e entender um pouco sobre produto escalar e produto vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que é conhecido como produto misto ou produto escalar trippel. Ele resulta em um escalar e é útil para calcular, por exemplo, o volume de um paralelepípedo formado por esses vetores.

Passo 3

Para derivar essa expressão, precisamos aplicar a regra do produto para derivadas envolvendo mais de um vetor. A regra geral para a derivada de um produto escalar é .

Passo 4

No nosso caso, temos multiplicado pelo produto vetorial . Então, vamos considerar e . Aplicando a regra do produto, temos:

Passo 5

Agora, precisamos derivar o produto vetorial v x w. Existe uma regra similar para isso: a derivada de um produto vetorial é igual a .

Passo 6

Substituindo essa derivada na nossa expressão anterior, temos:

Passo 7

Para simplificar, podemos distribuir o ponto sobre a soma:

Passo 8

E pronto! Essa é a fórmula geral para a derivada do produto misto entre três funções vetoriais. Cada termo representa a derivada de uma das funções multiplicada pelos produtos vetorial e escalar das outras duas.

Resposta

A derivada do produto misto é dada por:

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