Determine uma fórmula para a derivada do produto misto entre três funções vetoriais
e
, isto é, calcule
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a derivada do produto misto entre três funções vetoriais
,
e
. Isso significa que queremos calcular a derivada de
. Para resolver isso, vamos precisar usar as regras de derivação de produtos e entender um pouco sobre produto escalar e produto vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que
é conhecido como produto misto ou produto escalar trippel. Ele resulta em um escalar e é útil para calcular, por exemplo, o volume de um paralelepípedo formado por esses vetores.
Passo 3
Para derivar essa expressão, precisamos aplicar a regra do produto para derivadas envolvendo mais de um vetor. A regra geral para a derivada de um produto escalar
é
.
Passo 4
No nosso caso, temos
multiplicado pelo produto vetorial
. Então, vamos considerar
e
. Aplicando a regra do produto, temos:
Passo 5
Agora, precisamos derivar o produto vetorial
. Existe uma regra similar para isso: a derivada de um produto vetorial
é igual a
.
Passo 6
Substituindo essa derivada na nossa expressão anterior, temos:
Passo 7
Para simplificar, podemos distribuir o ponto sobre a soma:
Passo 8
E pronto! Essa é a fórmula geral para a derivada do produto misto entre três funções vetoriais. Cada termo representa a derivada de uma das funções multiplicada pelos produtos vetorial e escalar das outras duas.
Resposta
A derivada do produto misto é dada por: