Classifique todos os pontos críticos de f como máximo ou mínimo relativo ou ponto de sela, se houver. f(x, y) = x^2 + x*y + y^2 - 3*x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para classificar os pontos críticos da função . Isso faz parte da matéria de cálculo multivariável, onde estudamos como identificar e classificar esses pontos usando derivadas parciais e o teste da segunda derivada. Vamos precisar calcular as derivadas parciais de em relação a e , encontrar onde elas são iguais a zero e, depois, usar o teste para ver se cada ponto é um máximo, mínimo ou ponto de sela.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. Para isso, calculamos as derivadas parciais de em relação a e e igualamos a zero.
A derivada parcial em relação a é:
E a derivada parcial em relação a é:

Passo 3

Agora, vamos resolver o sistema de equações formado por e :
Vamos resolver a segunda equação para :
Substituindo na primeira equação:
Então, . Portanto, o ponto crítico é .

Passo 4

Para classificar o ponto crítico, precisamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem e o discriminante. As derivadas de segunda ordem são:
O discriminante é dado por:

Passo 5

Com o discriminante e , podemos classificar o ponto crítico. Se e , o ponto é um mínimo relativo. Se e , é um máximo relativo. Se , é um ponto de sela.

Resposta

O ponto crítico é um mínimo relativo da função .

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