Classifique todos os pontos críticos de
como máximo ou mínimo relativo ou ponto de sela, se houver.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para classificar os pontos críticos da função
. Isso faz parte da matéria de cálculo multivariável, onde estudamos como identificar e classificar esses pontos usando derivadas parciais e o teste da segunda derivada. Vamos precisar calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
, encontrar onde elas são iguais a zero e, depois, usar o teste para ver se cada ponto é um máximo, mínimo ou ponto de sela.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. Para isso, calculamos as derivadas parciais de
em relação a
e
e igualamos a zero.
A derivada parcial em relação a
é:
E a derivada parcial em relação a
é:
Passo 3
Agora, vamos resolver o sistema de equações formado por
e
:
Vamos resolver a segunda equação para
:
Substituindo na primeira equação:
Então,
. Portanto, o ponto crítico é
.
Passo 4
Para classificar o ponto crítico, precisamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem e o discriminante. As derivadas de segunda ordem são:
O discriminante
é dado por:
Passo 5
Com o discriminante
e
, podemos classificar o ponto crítico. Se
e
, o ponto é um mínimo relativo. Se
e
, é um máximo relativo. Se
, é um ponto de sela.
Resposta
O ponto crítico
é um mínimo relativo da função
.