Determine a equação paramétrica da reta tangente à curva obtida pela intersecção dos cilindros e no ponto .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar a equação paramétrica da reta tangente à curva que surge da interseção dos cilindros dados pelas equações e no ponto específico .
Para resolver isso, vamos precisar de cálculo vetorial, especialmente trabalhar com gradientes e produtos vetoriais. Vamos descobrir a direção da reta tangente usando esses conceitos.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções que representam os cilindros:
Essas funções definem os cilindros cujas interseções formam a curva da qual queremos a reta tangente.
Passo 3
Agora, vamos calcular o gradiente de cada função. O gradiente de uma função é um vetor que aponta na direção de maior aumento de e é perpendicular à superfície definida por .
Calculando os gradientes:
Para :
Para :
No ponto , os gradientes ficam:
Passo 4
A reta tangente à curva está na direção que é perpendicular a ambos os gradientes e . Para encontrar essa direção, usamos o produto vetorial dos gradientes:
Calculando o produto vetorial:
Podemos simplificar esse vetor dividindo por 8:
Passo 5
Agora que temos o vetor diretor da reta tangente e o ponto por onde a reta passa , podemos escrever a equação paramétrica da reta.
A equação paramétrica de uma reta é dada por:
Onde é o ponto inicial e são as componentes do vetor diretor.