Determine a função
cuja transformada de Fourier é:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma função transformada de Fourier, que é dada por:
O objetivo é encontrar a função original
que, quando transformada pela Fourier, resulta nessa
. Vamos precisar usar conceitos de transformada de Fourier, propriedades de exponenciais e talvez um pouco de álgebra para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a transformada de Fourier de uma função
é dada por:
Para encontrar
, precisamos usar a transformada inversa de Fourier:
Então, nosso próximo passo é aplicar essa fórmula com a
que foi dada.
Passo 3
Vamos substituir
na fórmula da transformada inversa:
Simplificando os exponenciais, temos:
Passo 4
Agora, vamos simplificar o denominador:
Então, nossa integral fica:
Passo 5
Para resolver essa integral, podemos usar a fórmula da transformada de Fourier para uma função exponencial:
onde
é a função degrau de Heaviside.
Comparando com nossa integral, identificamos:
Passo 6
Aplicando a fórmula:
Os
se cancelam, ficando:
Passo 7
Vamos expandir o expoente:
Então:
Os termos
se cancelam, restando:
Passo 8
Finalmente, juntando tudo:
Onde
é a função degrau de Heaviside que garante que
seja zero para
.
Resposta
A função
é dada por:
Exercícios relacionados
Calcule a transformada de Fourier das funções abaixo:
Descida se as desigualdades são verdadeiras ou falsas:
(1) Use as propriedades das integrais para verificar a desigualdade.
(Dica: Mostre que a função
é uma função decrescente. Note quando
.)
Reescreva as expressões sem os parênteses: