Determine a função cuja transformada de Fourier é:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma função transformada de Fourier, que é dada por:
O objetivo é encontrar a função original que, quando transformada pela Fourier, resulta nessa . Vamos precisar usar conceitos de transformada de Fourier, propriedades de exponenciais e talvez um pouco de álgebra para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a transformada de Fourier de uma função é dada por:
Para encontrar , precisamos usar a transformada inversa de Fourier:
Então, nosso próximo passo é aplicar essa fórmula com a que foi dada.

Passo 3

Vamos substituir na fórmula da transformada inversa:
Simplificando os exponenciais, temos:

Passo 4

Agora, vamos simplificar o denominador:
Então, nossa integral fica:

Passo 5

Para resolver essa integral, podemos usar a fórmula da transformada de Fourier para uma função exponencial:
onde é a função degrau de Heaviside.
Comparando com nossa integral, identificamos:

Passo 6

Aplicando a fórmula:
Os se cancelam, ficando:

Passo 7

Vamos expandir o expoente:
Então:
Os termos se cancelam, restando:

Passo 8

Finalmente, juntando tudo:
Onde é a função degrau de Heaviside que garante que seja zero para .

Resposta

A função é dada por:

Exercícios relacionados

Calcule a transformada de Fourier das funções abaixo:
Descida se as desigualdades são verdadeiras ou falsas:
(1) Use as propriedades das integrais para verificar a desigualdade.
(Dica: Mostre que a função é uma função decrescente. Note quando .)
Reescreva as expressões sem os parênteses: