Calcule a transformada de Fourier das funções abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a Transformada de Fourier da função . A Transformada de Fourier é uma ferramenta matemática que nos ajuda a transformar funções do espaço para o domínio da frequência, o que é super útil em várias áreas como física e engenharia. Para isso, vamos usar algumas propriedades básicas da Transformada de Fourier e fazer alguns truques de matemática para chegar na resposta final.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma simplificada na função . Vamos fazer uma mudança de variável para facilitar nosso trabalho. Seja , então . Substituindo na função:
Agora, nossa função fica .

Passo 3

A Transformada de Fourier de uma função é dada por:
Aplicando isso na nossa função:
Podemos tirar o para fora da integral:

Passo 4

Agora, precisamos resolver a integral . Essa integral é conhecida e pode ser resolvida usando propriedades da Transformada de Fourier. Sabemos que:
Além disso, temos uma propriedade que relaciona a Transformada de Fourier de . Utilizando diferenciação em relação a , descobrimos que:

Passo 5

Voltando à nossa Transformada:
Mas lembre-se que fizemos uma mudança de variável , o que introduz um fator de deslocamento. Na Transformada de Fourier, um deslocamento no domínio do tempo se traduz em multiplicação por uma exponencial no domínio da frequência. Portanto, precisamos multiplicar nossa Transformada por :

Resposta

A Transformada de Fourier da função é:

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Descida se as desigualdades são verdadeiras ou falsas:
Calcule a transformada de Fourier das funções abaixo:
Determine a função cuja transformada de Fourier é:
(1) Use as propriedades das integrais para verificar a desigualdade.
(Dica: Mostre que a função é uma função decrescente. Note quando .)