(1) Use as propriedades das integrais para verificar a desigualdade.
integralpi4^pi2 sen xx d x <= 2 raiz2pi
(Dica: Mostre que a função senxx é uma função decrescente. Note quando x in(pi4, pi2).)

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. A gente precisa verificar a desigualdade:
integralpi4^pi2 sen xx , dx <= 2 raiz2pi
Pra isso, vamos usar as propriedades das integrais. A dica nos mostra que a função é decrescente no intervalo . Então, vamos precisar entender como funções decrescentes se comportam em integrais e aplicar isso pra provar a desigualdade.

Passo 2

Primeiro, vamos confirmar que a função f'(x) = x cdot cos x - sen xx^2 é de fato decrescente no intervalo . Para isso, a gente olha a derivada de :
Queremos mostrar que nesse intervalo. Sabemos que e têm valores positivos entre e , mas como , o numerador fica negativo, pois cresce mais rápido que nesse intervalo. Portanto, e a função é decrescente.

Passo 3

Agora que sabemos que integrala^b f(x) , dx <= f(a) cdot (b - a) é decrescente, podemos usar uma propriedade das integrais de funções decrescentes. Se uma função é decrescente no intervalo , então:
Isso porque o valor máximo da função no intervalo é , e multiplicando pelo comprimento do intervalo dá uma estimativa superior para a integral.

Passo 4

Aplicando essa propriedade na nossa integral:
integralpi4^pi2 sen xx , dx <= sen(pi4)pi4 cdot (pi2 - pi4)
Vamos simplificar isso. Sabemos que sen(pi4)pi4 = raiz22pi4 = 2raiz2pi , então:
pi2 - pi4 = pi4
E o comprimento do intervalo é:

Passo 5

Substituindo de volta na desigualdade:
integralpi4^pi2 sen xx , dx <= 2raiz2pi cdot pi4 = 2raiz24 = raiz22
Mas olha só, a desigualdade que queremos provar é:
integralpi4^pi2 sen xx , dx <= 2 raiz2pi
Perceba que é menor que porque e . Então nossa estimativa cumpre a desigualdade proposta.

Resposta

A desigualdade foi verificada utilizando as propriedades de integrais de funções decrescentes, mostrando que
integralpi4^pi2 sen xx , dx <= 2 raiz2pi

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