(1) Use as propriedades das integrais para verificar a desigualdade.
(Dica: Mostre que a função é uma função decrescente. Note quando .)

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. A gente precisa verificar a desigualdade:
Pra isso, vamos usar as propriedades das integrais. A dica nos mostra que a função é decrescente no intervalo . Então, vamos precisar entender como funções decrescentes se comportam em integrais e aplicar isso pra provar a desigualdade.

Passo 2

Primeiro, vamos confirmar que a função é de fato decrescente no intervalo . Para isso, a gente olha a derivada de :
Queremos mostrar que nesse intervalo. Sabemos que e têm valores positivos entre e , mas como , o numerador fica negativo, pois cresce mais rápido que nesse intervalo. Portanto, e a função é decrescente.

Passo 3

Agora que sabemos que é decrescente, podemos usar uma propriedade das integrais de funções decrescentes. Se uma função é decrescente no intervalo , então:
Isso porque o valor máximo da função no intervalo é , e multiplicando pelo comprimento do intervalo dá uma estimativa superior para a integral.

Passo 4

Aplicando essa propriedade na nossa integral:
Vamos simplificar isso. Sabemos que , então:
E o comprimento do intervalo é:

Passo 5

Substituindo de volta na desigualdade:
Mas olha só, a desigualdade que queremos provar é:
Perceba que é menor que porque e . Então nossa estimativa cumpre a desigualdade proposta.

Resposta

A desigualdade foi verificada utilizando as propriedades de integrais de funções decrescentes, mostrando que

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Determine a função cuja transformada de Fourier é:
Calcule a transformada de Fourier das funções abaixo:
Reescreva as expressões sem os parênteses: