(1) Use as propriedades das integrais para verificar a desigualdade.
(Dica: Mostre que a função
é uma função decrescente. Note quando
.)
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. A gente precisa verificar a desigualdade:
Pra isso, vamos usar as propriedades das integrais. A dica nos mostra que a função
é decrescente no intervalo
. Então, vamos precisar entender como funções decrescentes se comportam em integrais e aplicar isso pra provar a desigualdade.
Passo 2
Primeiro, vamos confirmar que a função
é de fato decrescente no intervalo
. Para isso, a gente olha a derivada de
:
Queremos mostrar que
nesse intervalo. Sabemos que
e
têm valores positivos entre
e
, mas como
, o numerador
fica negativo, pois
cresce mais rápido que
nesse intervalo. Portanto,
e a função é decrescente.
Passo 3
Agora que sabemos que
é decrescente, podemos usar uma propriedade das integrais de funções decrescentes. Se uma função é decrescente no intervalo
, então:
Isso porque o valor máximo da função no intervalo é
, e multiplicando pelo comprimento do intervalo dá uma estimativa superior para a integral.
Passo 4
Aplicando essa propriedade na nossa integral:
Vamos simplificar isso. Sabemos que
, então:
E o comprimento do intervalo é:
Passo 5
Substituindo de volta na desigualdade:
Mas olha só, a desigualdade que queremos provar é:
Perceba que
é menor que
porque
e
. Então nossa estimativa cumpre a desigualdade proposta.
Resposta
A desigualdade foi verificada utilizando as propriedades de integrais de funções decrescentes, mostrando que
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Determine a função
cuja transformada de Fourier é:
Calcule a transformada de Fourier das funções abaixo:
Reescreva as expressões sem os parênteses: