Determine a função y = y(x) que satisfaz:
b) d y/d x = x/2 + 3 e y(-1) = 0

Passo 1

Então, temos a equação diferencial com uma condição inicial . Vamos resolver isso usando integração, que é uma ferramenta do cálculo para encontrar funções a partir de suas derivadas.

Passo 2

Primeiro, queremos encontrar a função cuja derivada é . Para isso, vamos integrar a expressão em relação a .

Passo 3

A integração vai nos dar a função original . Então, vamos calcular:

Passo 4

Vamos integrar cada termo separadamente:

Passo 5

Somando as integrais, temos:
Aqui, é a constante de integração que vamos determinar usando a condição inicial.

Passo 6

A condição inicial nos diz que quando , . Vamos substituir esses valores na expressão de :

Passo 7

Resolvendo para :

Resposta

A função que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial é:

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