Determine D em (4,0,3) se houver uma carga pontual de -5 pi mC em (4,0,0) e uma linha de cargas de 3 pi mC / m ao longo do eixo y .
Resp: (240 ax+42 az) mu C / m^2
l D=rhoL2 pi rho arho D=Q4 pi R^2 aR

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para determinar o campo elétrico de deslocamento, representado por D, no ponto (4,0,3). Temos duas fontes de carga:
  1. Uma carga pontual de -5pi mC localizada em (4,0,0).
  2. Uma linha de carga com densidade linear de 3pi mC/m ao longo do eixo y.
Para resolver isso, vamos precisar usar as fórmulas do campo elétrico de deslocamento D tanto para uma carga pontual quanto para uma linha de carga. Vamos calcular cada contribuição separadamente e depois somar os resultados para obter a D total no ponto desejado.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o campo D gerado pela carga pontual de -5pi mC em (4,0,0). A fórmula para o campo de deslocamento D devido a uma carga pontual Q é:
D = Q4pi R^2 aR
Onde:
  • Q é a carga,
  • R é a distância entre a carga e o ponto onde queremos calcular D,
  • aR é o vetor unitário na direção de R.
No nosso caso, a carga está em (4,0,0) e queremos o campo em (4,0,3). A distância R entre esses pontos é a diferença nas coordenadas z, ou seja, R = 3 metros.
Então,
Dponto = -5pi times 10^-3 C4pi (3)^2 az = -5 times 10^-336 az
Simplificando,
Dponto = -5 times 10^-336 az approx -0,0001389 az C/m^2
Convertendo para muC/m²:
Dponto approx -0,1389 muC/m^2 az

Passo 3

Agora, vamos calcular o campo D gerado pela linha de carga de 3pi mC/m ao longo do eixo y. A fórmula para o campo de deslocamento D devido a uma linha de carga com densidade linear lambda é:
D = lambda2pi rho arho
Onde:
  • lambda é a densidade linear de carga,
  • rho é a distância perpendicular da linha de carga até o ponto onde queremos calcular D,
  • arho é o vetor unitário na direção radial a partir da linha de carga.
No nosso caso, a linha de carga está ao longo do eixo y, e queremos calcular D no ponto (4,0,3). A distância rho é a distância no plano xz, que pode ser calculada como:
rho = raiz4^2 + 3^2 = 5 metros
O vetor unitário arho aponta radialmente para fora da linha de carga. Neste caso, ele terá componentes nas direções x e z. As componentes são proporcionais a 4 e 3, respectivamente.
Então,
arho = 4 ax + 3 az5
Agora, aplicando na fórmula do campo D:
Dlinha = 3pi times 10^-3 C/m2pi times 5 ( 4 ax + 3 az5 ) = 3 times 10^-310 ( 4 ax + 3 az5 )
Simplificando,
Dlinha = 3 times 10^-310 times 4 ax + 3 az5 = 3 times 10^-350 (4 ax + 3 az)
Dlinha = 12 times 10^-350 ax + 9 times 10^-350 az = 0,00024 ax + 0,00018 az C/m^2
Convertendo para muC/m²:
Dlinha = 240 muC/m^2 ax + 180 muC/m^2 az

Passo 4

Finalmente, vamos somar as contribuições dos dois campos D que calculamos:
Dtotal = Dlinha + Dponto = (240 muC/m^2 ax + 180 muC/m^2 az) + (-0,1389 muC/m^2 az)
Simplificando as componentes z:
Dtotal = 240 muC/m^2 ax + (180 - 0,1389) muC/m^2 az approx 240 muC/m^2 ax + 179,8611 muC/m^2 az
Arredondando os valores para facilitar:
Dtotal approx 240 muC/m^2 ax + 180 muC/m^2 az

Resposta

D = (240 ax + 180 az) muC/m^2

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