Determine D em
se houver uma carga pontual de
em
e uma linha de cargas de
ao longo do eixo y .
Resp:
Resp:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para determinar o campo elétrico de deslocamento, representado por D, no ponto
. Temos duas fontes de carga:
- Uma carga pontual de
mC localizada em . - Uma linha de carga com densidade linear de
mC/m ao longo do eixo y.
Para resolver isso, vamos precisar usar as fórmulas do campo elétrico de deslocamento D tanto para uma carga pontual quanto para uma linha de carga. Vamos calcular cada contribuição separadamente e depois somar os resultados para obter a D total no ponto desejado.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o campo D gerado pela carga pontual de
mC em
. A fórmula para o campo de deslocamento D devido a uma carga pontual Q é:
Onde:
-
é a carga, -
é a distância entre a carga e o ponto onde queremos calcular D, -
é o vetor unitário na direção de R.
No nosso caso, a carga está em
e queremos o campo em
. A distância
entre esses pontos é a diferença nas coordenadas z, ou seja,
metros.
Então,
Simplificando,
Convertendo para
C/m²:
Passo 3
Agora, vamos calcular o campo D gerado pela linha de carga de
mC/m ao longo do eixo y. A fórmula para o campo de deslocamento D devido a uma linha de carga com densidade linear
é:
Onde:
-
é a densidade linear de carga, -
é a distância perpendicular da linha de carga até o ponto onde queremos calcular D, -
é o vetor unitário na direção radial a partir da linha de carga.
No nosso caso, a linha de carga está ao longo do eixo y, e queremos calcular D no ponto
. A distância
é a distância no plano xz, que pode ser calculada como:
O vetor unitário
aponta radialmente para fora da linha de carga. Neste caso, ele terá componentes nas direções x e z. As componentes são proporcionais a 4 e 3, respectivamente.
Então,
Agora, aplicando na fórmula do campo D:
Simplificando,
Convertendo para
C/m²:
Passo 4
Finalmente, vamos somar as contribuições dos dois campos D que calculamos:
Simplificando as componentes z:
Arredondando os valores para facilitar: