Um indutor de 10 mH tem sobre seus terminais uma tensão que é descrita como: para
V e para
. Obtenha os gráficos da tensão e corrente no indutor para os intervalos dados se no instante inicial a corrente es zero.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um indutor de 10 mH (mili-Henry) com uma tensão aplicada que muda no tempo. Nosso objetivo é desenhar os gráficos da tensão e da corrente nesse indutor para dois intervalos de tempo diferentes, sabendo que a corrente começa em zero. Vamos precisar entender como a tensão e a corrente se relacionam em um indutor, usando a fórmula básica dos indutores.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a relação entre tensão (V) e corrente (i) em um indutor. A fórmula é:
Onde:
- $ V $ é a tensão aplicada,
- $ L $ é a indutância,
- $ \frac{di}{dt} $ é a taxa de variação da corrente no tempo.
No nosso caso, $ L = 10 , mH = 0.01 , H $.
Passo 3
Vamos dividir a resolução em dois intervalos de tempo conforme a tensão aplicada:
- De 0 a 100 ms (
): $ V = 10 , V $ - De 100 a 150 ms (
): $ V = -10 , V $
Vamos resolver cada intervalo separadamente.
Passo 4
Primeiro Intervalo (
):
Aqui, a tensão é constante em 10 V. Usando a fórmula dos indutores:
Resolvendo para $ \frac{di}{dt} $:
Agora, vamos integrar para encontrar a corrente $ i(t) $:
Como a corrente inicial $ i(0) = 0 $, a constante $ C = 0 $. Então:
Interpretando: A corrente aumenta linearmente com o tempo a uma taxa de 1000 A por segundo.
Passo 5
Segundo Intervalo (
):
Agora, a tensão muda para -10 V. Aplicando novamente a fórmula dos indutores:
Resolvendo para $ \frac{di}{dt} $:
Integrando para encontrar $ i(t) $:
Agora, precisamos achar a constante $ C $. Sabemos que no instante $ t = 0.1 , s $, a corrente é:
Então:
Portanto, a corrente neste intervalo é:
Interpretando: A corrente começa em 100 A e diminui linearmente a uma taxa de 1000 A por segundo.
Passo 6
Resumindo os resultados:
-
Corrente $ i(t) $:
- Para $ 0 < t < 0.1 , s $:
- Para $ 0.1 , s < t < 0.15 , s $:
- Para $ 0 < t < 0.1 , s $:
-
Tensão $ V(t) $:
- Para $ 0 < t < 0.1 , s $:
- Para $ 0.1 , s < t < 0.15 , s $:
- Para $ 0 < t < 0.1 , s $:
Resposta
A corrente e a tensão no indutor são dadas por:
-
Corrente $ i(t) $:
-
Tensão $ V(t) $:
Esses resultados mostram que a corrente aumenta linearmente nos primeiros 100 ms e depois diminui nos próximos 50 ms, enquanto a tensão alterna entre 10 V e -10 V nos respectivos intervalos de tempo.