Um indutor de 10 mH tem sobre seus terminais uma tensão que é descrita como: para 0 V e para 100. Obtenha os gráficos da tensão e corrente no indutor para os intervalos dados se no instante inicial a corrente es zero.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um indutor de 10 mH (mili-Henry) com uma tensão aplicada que muda no tempo. Nosso objetivo é desenhar os gráficos da tensão e da corrente nesse indutor para dois intervalos de tempo diferentes, sabendo que a corrente começa em zero. Vamos precisar entender como a tensão e a corrente se relacionam em um indutor, usando a fórmula básica dos indutores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a relação entre tensão (V) e corrente (i) em um indutor. A fórmula é:
V = L cdot didt
Onde:
  • $ V $ é a tensão aplicada,
  • $ L $ é a indutância,
  • $ \frac{di}{dt} $ é a taxa de variação da corrente no tempo.
No nosso caso, $ L = 10 , mH = 0.01 , H $.

Passo 3

Vamos dividir a resolução em dois intervalos de tempo conforme a tensão aplicada:
  1. De 0 a 100 ms ( 0 < t < 0.1 , s): $ V = 10 , V $
  2. De 100 a 150 ms ( V = 10 , V ): $ V = -10 , V $
Vamos resolver cada intervalo separadamente.

Passo 4

Primeiro Intervalo ( 0 < t < 0.1 , s):
Aqui, a tensão é constante em 10 V. Usando a fórmula dos indutores:
10 = 0.01 cdot didt
Resolvendo para $ \frac{di}{dt} $:
didt
Agora, vamos integrar para encontrar a corrente $ i(t) $:
didt = 100.01 = 1000 , A/s
Como a corrente inicial $ i(0) = 0 $, a constante $ C = 0 $. Então:
i(t)
Interpretando: A corrente aumenta linearmente com o tempo a uma taxa de 1000 A por segundo.

Passo 5

Segundo Intervalo ( 0.1 , s < t < 0.15 , s):
Agora, a tensão muda para -10 V. Aplicando novamente a fórmula dos indutores:
-10 = 0.01 cdot didt
Resolvendo para $ \frac{di}{dt} $:
didt
Integrando para encontrar $ i(t) $:
didt = -100.01 = -1000 , A/s
Agora, precisamos achar a constante $ C $. Sabemos que no instante $ t = 0.1 , s $, a corrente é:
i(t)
Então:
i(t) = integral -1000 , dt = -1000t + C
C
t = 0.1 , s
Portanto, a corrente neste intervalo é:
i(0.1) = 1000 times 0.1 = 100 , A
Interpretando: A corrente começa em 100 A e diminui linearmente a uma taxa de 1000 A por segundo.

Passo 6

Resumindo os resultados:
  • Corrente $ i(t) $:
    • Para $ 0 < t < 0.1 , s $: i(t)
      - Para $ 0.1 , s < t < 0.15 , s $:
      0 < t < 0.1 , s
  • Tensão $ V(t) $:
    • Para $ 0 < t < 0.1 , s $: i(t) = 1000t
      - Para $ 0.1 , s < t < 0.15 , s $:
      0.1 , s < t < 0.15 , s

Resposta

A corrente e a tensão no indutor são dadas por:
  • Corrente $ i(t) $:
    i(t)
  • Tensão $ V(t) $:
    i(t) = 1000t & para 0 < t < 0.1 , s -1000t + 200 & para 0.1 , s < t < 0.15 , s
Esses resultados mostram que a corrente aumenta linearmente nos primeiros 100 ms e depois diminui nos próximos 50 ms, enquanto a tensão alterna entre 10 V e -10 V nos respectivos intervalos de tempo.

Exercícios relacionados