Determine a indutância externa de um condutor de uma linha de transmissão com 50 metros de comprimento, sabendo que o condutor é de cobre, com raio igual a 5 cm e considerando a distância do condutor em relação ao retorno de 10, 20 e 30 km. Retire conclusões do efeito da distância do condutor em relação ao retorno sobre a indutância externa da linha.

Passo 1

Então, vamos dar uma olhada no que a gente precisa resolver aqui! O exercício pede para determinar a indutância externa de um condutor em uma linha de transmissão que tem 50 metros de comprimento. Sabemos que o condutor é de cobre, com um raio de 5 cm, e a distância entre o condutor e o retorno (que pode ser outro condutor ou o solo) varia entre 10, 20 e 30 km. Além disso, precisamos entender como essa distância afeta a indutância externa da linha. Vamos usar conceitos de indutância elétrica e linhas de transmissão para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é indutância externa. Em linhas de transmissão, a indutância total é composta pela indutância paralela e externa. A indutância externa está relacionada ao campo magnético que se estende para fora do condutor principal e interage com o retorno. Quanto maior a distância entre o condutor e o retorno, menor é a indutância externa, porque o campo magnético se dispersa mais.

Passo 3

Para calcular a indutância externa, usamos a fórmula:
Le = mu02pi ln(Dr)
Onde:
  • $ L_e $ é a indutância externa por unidade de comprimento (Henries por metro, H/m)
  • $ \mu_0 $ é a permeabilidade do vácuo, que é $ 4\pi \times 10^{-7} $ H/m
  • $ D $ é a distância entre o condutor e o retorno (em metros)
  • $ r $ é o raio do condutor (em metros)
  • $ \ln $ é o logaritmo natural

Passo 4

Vamos converter todas as unidades para o Sistema Internacional (SI):
  • Comprimento da linha: 50 metros (já está em metros)
  • Raio do condutor: 5 cm = 0,05 metros
  • Distâncias do retorno: 10 km = 10.000 metros, 20 km = 20.000 metros, 30 km = 30.000 metros

Passo 5

Agora, vamos calcular a indutância externa por metro para cada distância usando a fórmula acima.
Para $ D = 10.000 $ metros:
D = 10.000
Calculando $ \ln(200.000) $:
Le = 4pi times 10^-72pi ln(10.0000,05) = 2 times 10^-7 ln(200.000)
Então:
ln(200.000)

Passo 6

Para $ D = 20.000 $ metros:
D = 20.000
Calculando $ \ln(400.000) $:
Le = 4pi times 10^-72pi ln(20.0000,05) = 2 times 10^-7 ln(400.000)
Então:
ln(400.000)

Passo 7

Para $ D = 30.000 $ metros:
D = 30.000
Calculando $ \ln(600.000) $:
Le = 4pi times 10^-72pi ln(30.0000,05) = 2 times 10^-7 ln(600.000)
Então:
ln(600.000)

Passo 8

Agora, como a indutância total da linha é a indutância externa multiplicada pelo comprimento da linha, que é 50 metros:
Para $ D = 10.000 $ metros:
D = 10.000
Para $ D = 20.000 $ metros:
Le total = 2,4412 times 10^-6 times 50 approx 1,2206 times 10^-4 H
Para $ D = 30.000 $ metros:
D = 20.000

Passo 9

Conclusão: Observamos que, à medida que a distância $ D $ entre o condutor e o retorno aumenta (de 10 km para 30 km), a indutância externa total também aumenta ligeiramente. Isso pode parecer contra intuitivo, mas na verdade, devido à aproximação utilizada na fórmula, pequenas variações em $ D $ resultam em aumentos modestos na indutância. Em linhas de transmissão reais, outros fatores como a distribuição de corrente e efeitos de proximidade também influenciam a indutância total.

Resposta

A indutância externa total da linha de transmissão de 50 metros é aproximadamente:
  • 1,2206 × 10⁻⁴ H para distância de 10 km
  • 1,2899 × 10⁻⁴ H para distância de 20 km
  • 1,3305 × 10⁻⁴ H para distância de 30 km
Isso mostra que, conforme a distância entre o condutor e o retorno aumenta, a indutância externa da linha também aumenta ligeiramente.

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