Determine a indutância externa de um condutor de uma linha de transmissão com 50 metros de comprimento, sabendo que o condutor é de cobre, com raio igual a 5 cm e considerando a distância do condutor em relação ao retorno de 10, 20 e 30 km. Retire conclusões do efeito da distância do condutor em relação ao retorno sobre a indutância externa da linha.
Passo 1
Então, vamos dar uma olhada no que a gente precisa resolver aqui! O exercício pede para determinar a indutância externa de um condutor em uma linha de transmissão que tem 50 metros de comprimento. Sabemos que o condutor é de cobre, com um raio de 5 cm, e a distância entre o condutor e o retorno (que pode ser outro condutor ou o solo) varia entre 10, 20 e 30 km. Além disso, precisamos entender como essa distância afeta a indutância externa da linha. Vamos usar conceitos de indutância elétrica e linhas de transmissão para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é indutância externa. Em linhas de transmissão, a indutância total é composta pela indutância paralela e externa. A indutância externa está relacionada ao campo magnético que se estende para fora do condutor principal e interage com o retorno. Quanto maior a distância entre o condutor e o retorno, menor é a indutância externa, porque o campo magnético se dispersa mais.
Passo 3
Para calcular a indutância externa, usamos a fórmula:
Onde:
- $ L_e $ é a indutância externa por unidade de comprimento (Henries por metro, H/m)
- $ \mu_0 $ é a permeabilidade do vácuo, que é $ 4\pi \times 10^{-7} $ H/m
- $ D $ é a distância entre o condutor e o retorno (em metros)
- $ r $ é o raio do condutor (em metros)
- $ \ln $ é o logaritmo natural
Passo 4
Vamos converter todas as unidades para o Sistema Internacional (SI):
- Comprimento da linha: 50 metros (já está em metros)
- Raio do condutor: 5 cm = 0,05 metros
- Distâncias do retorno: 10 km = 10.000 metros, 20 km = 20.000 metros, 30 km = 30.000 metros
Passo 5
Agora, vamos calcular a indutância externa por metro para cada distância usando a fórmula acima.
Para $ D = 10.000 $ metros:
Calculando $ \ln(200.000) $:
Então:
Passo 6
Para $ D = 20.000 $ metros:
Calculando $ \ln(400.000) $:
Então:
Passo 7
Para $ D = 30.000 $ metros:
Calculando $ \ln(600.000) $:
Então:
Passo 8
Agora, como a indutância total da linha é a indutância externa multiplicada pelo comprimento da linha, que é 50 metros:
Para $ D = 10.000 $ metros:
Para $ D = 20.000 $ metros:
Para $ D = 30.000 $ metros:
Passo 9
Conclusão: Observamos que, à medida que a distância $ D $ entre o condutor e o retorno aumenta (de 10 km para 30 km), a indutância externa total também aumenta ligeiramente. Isso pode parecer contra intuitivo, mas na verdade, devido à aproximação utilizada na fórmula, pequenas variações em $ D $ resultam em aumentos modestos na indutância. Em linhas de transmissão reais, outros fatores como a distribuição de corrente e efeitos de proximidade também influenciam a indutância total.
Resposta
A indutância externa total da linha de transmissão de 50 metros é aproximadamente:
- 1,2206 × 10⁻⁴ H para distância de 10 km
- 1,2899 × 10⁻⁴ H para distância de 20 km
- 1,3305 × 10⁻⁴ H para distância de 30 km
Isso mostra que, conforme a distância entre o condutor e o retorno aumenta, a indutância externa da linha também aumenta ligeiramente.