Determine a indutância externa de um condutor de uma linha de transmissão com 50m, 60m e 100m de comprimento, sabendo que o condutor é de cobre, com raio igual a 5 cm e considerando a distância do condutor em relação ao retorno de 5 km . Retire conclusões do efeito do comprimento da linha de transmissão em relação ao retorno sobre a indutância externa da linha.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinarmos a indutância externa de um condutor de uma linha de transmissão com diferentes comprimentos (50m, 60m e 100m). Sabemos que o condutor é de cobre, com raio de 5 cm, e está a uma distância de 5 km do caminho de retorno. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre indutância e como calculá-la em linhas de transmissão.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é indutância externa. A indutância de uma linha de transmissão é uma medida de quanta energia magnética é armazenada quando a corrente elétrica circula por ela. A “externa” se refere à parte da indutância que depende da geometria externa da linha, ou seja, da distância entre o condutor e o caminho de retorno.
A fórmula para calcular a indutância externa por unidade de comprimento ( L') de uma linha de transmissão é:
L' = mu02pi ln(Dr)
Onde:
  • mu0 é a permeabilidade do vácuo ( 4pi times 10^-7 H/m)
  • D é a distância entre o condutor principal e o caminho de retorno
  • r é o raio do condutor

Passo 3

Vamos identificar os valores que temos:
  • Permeabilidade do vácuo ( mu0): 4pi times 10^-7 H/m
  • Distância D: 5 km = 5000 m
  • Raio r: 5 cm = 0,05 m
Agora, substituindo esses valores na fórmula:
L' = 4pi times 10^-72pi ln(50000,05)
Simplificando a expressão:
L' = 2 times 10^-7 ln(100000)

Passo 4

Vamos calcular o valor de L':
Primeiro, calculamos o logaritmo natural de 100000:
ln(100000) approx 11,5129
Agora, multiplicamos pelos outros fatores:
L' = 2 times 10^-7 times 11,5129 approx 2,3026 times 10^-6 H/m
Então, a indutância por metro é aproximadamente 2,3026 times 10^-6 H/m.
Agora, para encontrar a indutância total ( L) para cada comprimento da linha, usamos:
L = L' times l
Onde l é o comprimento da linha.
Vamos calcular para cada comprimento:
  1. 50 metros:
L = 2,3026 times 10^-6 times 50 = 1,1513 times 10^-4 H approx 115,13 μH μ
  1. 60 metros:
L = 2,3026 times 10^-6 times 60 = 1,3816 times 10^-4 H approx 138,16 μH μ
  1. 100 metros:
L = 2,3026 times 10^-6 times 100 = 2,3026 times 10^-4 H approx 230,26 μH μ

Passo 5

Analisando os resultados, percebemos que a indutância externa aumenta proporcionalmente ao comprimento da linha de transmissão. Ou seja, quanto maior o comprimento da linha, maior será a indutância total. Isso ocorre porque mais comprimento significa mais área para o campo magnético se formar, armazenando mais energia.
Além disso, a distância do condutor principal ao caminho de retorno ( D) influencia a indutância externa. Nesse caso, mantendo D fixo em 5 km, a variação do comprimento afeta diretamente a indutância.

Resposta

A indutância externa da linha de transmissão é aproximadamente:
  • 115,13 μH para 50 metros
  • 138,16 μH para 60 metros
  • 230,26 μH para 100 metros

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