Determine por integração direta os centroides das áreas a seguir. Demonstre sua resposta em termos de a e h.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar o centroide de uma área usando integração direta. Isso significa que vamos calcular as coordenadas e do centroide em termos das variáveis e . Para isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre cálculo integral e entender como calcular áreas e momentos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o centroide é o ponto que representa o “centro de massa” da área. As coordenadas barx = 1A integral x , dA e bary = 1A integral y , dA e são dadas pelas fórmulas:
Aqui, é a área total da figura.

Passo 3

Vamos precisar expressar a área A = a times h em termos de e . Supondo que a figura seja um retângulo, a área é simplesmente:

Passo 4

Agora, vamos calcular barx = 1A integral0^a integral0^h x , dy , dx . Para isso, vamos integrar integral0^h x , dy = x times h sobre toda a área:
Primeiro, integramos em relação a :

Passo 5

Substituímos de volta na integral de barx = 1a h integral0^a x h , dx = ha h integral0^a x , dx = 1a [ x^22 ]0^a = 1a ( a^22 ) = a2 :

Passo 6

Agora, vamos calcular bary = 1A integral0^a integral0^h y , dy , dx de maneira semelhante:
integral0^h y , dy = h^22
Primeiro, integramos em relação a :

Passo 7

Substituímos de volta na integral de bary = 1a h integral0^a h^22 , dx = h^22 a h integral0^a dx = h2 a times a = h2 :

Resposta

Portanto, as coordenadas do centroide são:
barx = a2 e bary = h2

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