Determine por integração direta os centroides das áreas a seguir. Demonstre sua resposta em termos de e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar o centroide de uma área usando integração direta. Isso significa que vamos calcular as coordenadas e do centroide em termos das variáveis e . Para isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre cálculo integral e entender como calcular áreas e momentos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o centroide é o ponto que representa o “centro de massa” da área. As coordenadas e são dadas pelas fórmulas:
Aqui, é a área total da figura.

Passo 3

Vamos precisar expressar a área em termos de e . Supondo que a figura seja um retângulo, a área é simplesmente:

Passo 4

Agora, vamos calcular . Para isso, vamos integrar sobre toda a área:
Primeiro, integramos em relação a :

Passo 5

Substituímos de volta na integral de :

Passo 6

Agora, vamos calcular de maneira semelhante:
Primeiro, integramos em relação a :

Passo 7

Substituímos de volta na integral de :

Resposta

Portanto, as coordenadas do centroide são:

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