Determine por integração direta os centroides das áreas a seguir. Demonstre sua resposta em termos de
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar o centroide de uma área usando integração direta. Isso significa que vamos calcular as coordenadas
e
do centroide em termos das variáveis
e
. Para isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre cálculo integral e entender como calcular áreas e momentos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o centroide é o ponto que representa o “centro de massa” da área. As coordenadas
e
são dadas pelas fórmulas:
Aqui,
é a área total da figura.
Passo 3
Vamos precisar expressar a área
em termos de
e
. Supondo que a figura seja um retângulo, a área é simplesmente:
Passo 4
Agora, vamos calcular
. Para isso, vamos integrar
sobre toda a área:
Primeiro, integramos em relação a
:
Passo 5
Substituímos de volta na integral de
:
Passo 6
Agora, vamos calcular
de maneira semelhante:
Primeiro, integramos em relação a
:
Passo 7
Substituímos de volta na integral de
:
Resposta
Portanto, as coordenadas do centroide são:
Exercícios relacionados
Efetue as seguintes transformações de unidades: 238.850 kg em tonelada-força (tf)
Efetue as seguintes transformações de unidades: 83 kN em tonelada-força (tf)
Projete um eixo de aço maciço para transmitir uma potência de 10 HP a uma rotação de 15 Hz . Sabe-se que a tensão de cisalhamento admissível do aço é de 55 MPa . [Resposta:
]
Projete um eixo de seção circular de aço (
), de 1 m de comprimento, que deve transmitir 37.5 kW com frequência de 1800 rpm , sendo que a tensão de cisalhamento não exceda a 35 MPa e o ângulo de torção não ultrapasse
. [Resposta:
]