Projete um eixo de aço maciço para transmitir uma potência de 10 HP a uma rotação de 15 Hz . Sabe-se que a tensão de cisalhamento admissível do aço é de 55 MPa . [Resposta: d=19.4 mm ]

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Precisamos projetar um eixo de aço maciço que consiga transmitir uma potência de 10 HP (horsepower) com uma rotação de 15 Hz. Para isso, vamos utilizar o conhecimento de mecânica dos materiais, mais especificamente sobre dimensionamento de eixos sujeitos a torque. Precisaremos das fórmulas que relacionam potência, torque, rotação e tensão de cisalhamento.

Passo 2

Primeiro, vamos converter a potência de horsepower (HP) para watts (W), já que as unidades do Sistema Internacional são mais convenientes para os cálculos.
Sabemos que:
1 , HP = 745,7 , W
Então:
10 , HP = 10 times 745,7 , W = 7457 , W

Passo 3

Em seguida, vamos relacionar a potência ( P = T times omega ), o torque ( omega = 2pi f ) e a rotação ( omega = 2pi times 15 , Hz = 30pi , rad/s ). A fórmula que conecta esses valores é:
onde é a velocidade angular em rad/s, e está relacionada com a frequência ( ) pela fórmula:
Primeiro, calculamos :

Passo 4

Agora, podemos rearranjar a fórmula da potência para encontrar o torque ( T = Pomega = 7457 , W30pi , rad/s approx 745794,25 approx 79,05 , N·m ):

Passo 5

Com o torque conhecido, precisamos relacioná-lo com a tensão de cisalhamento admissível ( tau = 16Tpi d^3 ) para determinar o diâmetro do eixo. A fórmula para a tensão de cisalhamento em um eixo circular é:
d^3 = 16Tpi tau
onde é o diâmetro do eixo.
Queremos encontrar , então vamos rearranjar a fórmula:

Passo 6

Substituindo os valores conhecidos na fórmula:
d^3 = 16 times 79,05 , N·mpi times 55 times 10^6 , Pa
Note que d^3 = 1264,8 , N·m172,7876 times 10^6 , Pa approx 7,315 times 10^-6 , m^3 , então as unidades estão compatíveis.
Calculando:

Passo 7

Agora, tiramos a raiz cúbica para encontrar o diâmetro d = raiz[3]7,315 times 10^-6 , m^3 approx 0,0194 , m :
d approx 19,4 , mm
Convertendo para milímetros:

Resposta

O diâmetro do eixo de aço maciço necessário é de 19,4 mm.

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