Projete um eixo de seção circular de aço ( G=75 GPa ), de 1 m de comprimento, que deve transmitir 37.5 kW com frequência de 1800 rpm , sendo que a tensão de cisalhamento não exceda a 35 MPa e o ângulo de torção não ultrapasse 2^circ. [Resposta: d=30.7 mm ]

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para projetar um eixo circular de aço com 1 metro de comprimento que precisa transmitir 37,5 kW a 1800 rotações por minuto (rpm). A gente não pode deixar a tensão de cisalhamento passar de 35 MPa nem o ângulo de torção ultrapassar 2 graus. Vamos usar conceitos de mecânica dos materiais, como torque, tensão de cisalhamento e torção em eixos circulares, e aplicar algumas fórmulas matemáticas para encontrar o diâmetro do eixo.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o torque necessário para transmitir a potência de 37,5 kW a 1800 rpm. A fórmula para potência ( P = T cdot omega ) em função do torque ( omega = 2pi cdot rpm60 ) e da velocidade angular ( omega = 2pi cdot 180060 = 188,5 , rad/s ) é:
T = Pomega = 37500 , W188,5 , rad/s approx 199 , Nm
Precisamos converter as rpm para radianos por segundo. Sabemos que:
Então:
Agora, rearranjamos a fórmula da potência para encontrar o torque:

Passo 3

Agora que temos o torque, vamos relacioná-lo com a tensão de cisalhamento. A fórmula para a tensão de cisalhamento ( tau = T cdot cJ ) em um eixo circular é:
tau = 16Tpi d^3
Onde:
  • 35 times 10^6 = 16 cdot 199pi d^3 é o raio do eixo,
  • d^3 = 16 cdot 19935 times 10^6 cdot pi approx 0,000291 , m^3 é o momento polar de inércia, dado por d approx raiz[3]0,000291 approx 0,0665 , m = 66,5 , mm .
Rearranjando para encontrar :
Queremos que , então:
Resolvendo para :

Passo 4

Agora vamos verificar a limitação do ângulo de torção. A fórmula para o ângulo de torção ( theta = T cdot LG cdot J ) é:
2^circ times pi180 approx 0,0349 , rad
Queremos que 0,0349 = 199 cdot 175 times 10^9 cdot pi d^432 . Primeiro, precisamos converter 2 graus para radianos:
d^4 = 199 cdot 320,0349 cdot 75 times 10^9 cdot pi approx 7,9 times 10^-6 , m^4
Substituindo os valores:
d approx raiz[4]7,9 times 10^-6 approx 0,0307 , m = 30,7 , mm
Resolvendo para :

Passo 5

Comparando os dois diâmetros calculados:
  • Tensão de cisalhamento: 66,5 mm
  • Ângulo de torção: 30,7 mm
A gente precisa escolher o diâmetro maior para garantir que ambas as condições sejam atendidas. Então, o diâmetro do eixo deve ser de 30,7 mm.

Resposta

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