Seja a reta r dada pela equação ax + by - 14 = 0. Sabe que os pontos A ( 2, 1) e B ( - 1,3) pertencem a reta. Determine o valor de a + b, com a e b reais

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma reta $ r $ definida pela equação $ ax + by - 14 = 0 $. Sabemos que os pontos $ A(2, 1) $ e $ B(-1, 3) $ estão nessa reta. O nosso objetivo é descobrir o valor de $ a + b $, onde $ a $ e $ b $ são números reais. Para isso, vamos usar um pouco de álgebra para encontrar $ a $ e $ b $.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa dizer que os pontos $ A $ e $ B $ estão na reta $ r $. Isso quer dizer que, se substituirmos as coordenadas desses pontos na equação da reta, a equação será verdadeira.
Vamos começar com o ponto $ A(2, 1) $:
A
Simplificando:
B çã

Passo 3

Agora, vamos usar o ponto $ B(-1, 3) $ na mesma equação:
B(-1, 3)
Simplificando:
a cdot (-1) + b cdot 3 - 14 = 0 çã

Passo 4

Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
  1. $ 2a + b = 14 $
  2. $ -a + 3b = 14 $
Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de $ a $ e $ b $.

Passo 5

Vamos resolver a Equação 1 para $ a $:
a
Agora, vamos substituir esse valor de $ a $ na Equação 2:
2a + b = 14 2a = 14 - b a = 14 - b2

Passo 6

Vamos multiplicar todos os termos por 2 para eliminar o denominador:
- (14 - b) + 6b = 28 -14 + b + 6b = 28 7b - 14 = 28
Agora, somamos 14 em ambos os lados:
7b = 42 b = 6

Passo 7

Com o valor de $ b $ encontrado, vamos voltar na Equação 1 para encontrar $ a $:
b

Passo 8

Finalmente, vamos somar os valores de $ a $ e $ b $:
a

Resposta

O valor de $ a + b $ é 10.

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