Determine
para que
ek
seja função de densidade de probabilidade.
Passo 1
Resumo do Enunciado: Queremos encontrar o valor de
para que a função
seja uma função de densidade de probabilidade. Para isso, vamos precisar entender o que define uma função de densidade e calcular algumas integrais.
Passo 2
Entendendo Função de Densidade de Probabilidade: Uma função
é considerada uma densidade de probabilidade se satisfaz duas condições principais:
- Não Negatividade:
para todo . - Integral Unitária: A integral de
em todo o espaço é igual a 1, ou seja:
Vamos verificar essas condições para a nossa função
.
Passo 3
Verificando a Não Negatividade: A função exponencial
é sempre positiva, independente do valor de
. Portanto, a primeira condição está satisfeita.
Passo 4
Calculando a Integral: Agora, vamos garantir que a integral de
seja igual a 1:
Devido à simetria do valor absoluto, podemos simplificar a integral:
Vamos calcular a integral de
a
para
.
Passo 5
Resolvendo a Integral:
Para que a integral convirja (ou seja, resulte em um valor finito), a exponencial
deve não crescer para o infinito. Isso acontece quando
é negativo. Então, vamos assumir que
, onde
:
Portanto, a integral completa fica:
Como
, temos:
Resposta
O valor de
é
.
Exercícios relacionados
Demonstre que o conjunto
, descrito abaixo, é ortogonal no intervalo
:
para
Obs.: Analise os casos para e
.
Obs.: Analise os casos para
Suponha que
e
sejam séries com termos positivos e que
seja convergente.
Se para todo n, o que você pode dizer sobre
? Por quê?
Se
Reescreva as expressões sem os parênteses:
Escreva as sentenças na forma de uma desigualdade:
é positivo