Demonstre que o conjunto , descrito abaixo, é ortogonal no intervalo :

para
Obs.: Analise os casos para e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente demonstrar que um conjunto de funções, chamado , é ortogonal no intervalo . Isso está dentro do estudo de funções ortogonais, que é fundamental em áreas como séries de Fourier e análise de sinais. Para resolver, vamos precisar entender o que significa duas funções serem ortogonais e como calcular o produto interno delas no intervalo dado.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que duas funções são ortogonais. No contexto de funções, duas funções e são ortogonais no intervalo se o produto interno delas for zero. O produto interno é dado por:
Então, para nosso caso, queremos mostrar que:
E verificar o caso quando .

Passo 3

Vamos analizar os diferentes tipos de funções no conjunto :
  1. Função constante:
  2. Funções cosseno:
  3. Funções seno:
Vamos calcular o produto interno entre duas funções quaisquer do conjunto e verificar se é zero quando os índices são diferentes.

Passo 4

Primeiro, consideremos o produto interno entre duas funções cosseno com índices diferentes, ou entre um cosseno e um seno. Por exemplo, para :
Sabemos que, para , o resultado dessa integral é zero devido às propriedades das funções trigonométricas (ortogonalidade dos cossenos com diferentes frequências no intervalo simétrico). O mesmo vale para o produto interno entre senos com índices diferentes e entre senos e cossenos.

Passo 5

Agora, vamos verificar o caso quando . Para funções cosseno:
E similarmente para os senos:
Para a função constante:
Então, quando , o produto interno não é zero, o que confirma a ortogonalidade das funções para .

Resposta

Portanto, demonstramos que o conjunto é ortogonal no intervalo , já que o produto interno de duas funções diferentes do conjunto é zero, e é não nulo quando os índices são iguais.

Exercícios relacionados

Suponha que e sejam séries com termos positivos e que seja convergente.
Se para todo n, o que você pode dizer sobre ? Por quê?
Calcule as seguintes integrais impróprias, caso sejam convergentes:
Determine para que ek seja função de densidade de probabilidade.
Reescreva as expressões sem os parênteses: