Demonstre que o conjunto
, descrito abaixo, é ortogonal no intervalo
:
para
Obs.: Analise os casos para
e
.
Obs.: Analise os casos para
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente demonstrar que um conjunto de funções, chamado
, é ortogonal no intervalo
. Isso está dentro do estudo de funções ortogonais, que é fundamental em áreas como séries de Fourier e análise de sinais. Para resolver, vamos precisar entender o que significa duas funções serem ortogonais e como calcular o produto interno delas no intervalo dado.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa que duas funções são ortogonais. No contexto de funções, duas funções
e
são ortogonais no intervalo
se o produto interno delas for zero. O produto interno é dado por:
Então, para nosso caso, queremos mostrar que:
E verificar o caso quando
.
Passo 3
Vamos analizar os diferentes tipos de funções no conjunto
:
- Função constante:
- Funções cosseno:
- Funções seno:
Vamos calcular o produto interno entre duas funções quaisquer do conjunto e verificar se é zero quando os índices são diferentes.
Passo 4
Primeiro, consideremos o produto interno entre duas funções cosseno com índices diferentes, ou entre um cosseno e um seno. Por exemplo, para
:
Sabemos que, para
, o resultado dessa integral é zero devido às propriedades das funções trigonométricas (ortogonalidade dos cossenos com diferentes frequências no intervalo simétrico). O mesmo vale para o produto interno entre senos com índices diferentes e entre senos e cossenos.
Passo 5
Agora, vamos verificar o caso quando
. Para funções cosseno:
E similarmente para os senos:
Para a função constante:
Então, quando
, o produto interno não é zero, o que confirma a ortogonalidade das funções para
.
Resposta
Portanto, demonstramos que o conjunto
é ortogonal no intervalo
, já que o produto interno de duas funções diferentes do conjunto é zero, e é não nulo quando os índices são iguais.
Exercícios relacionados
Suponha que
e
sejam séries com termos positivos e que
seja convergente.
Se para todo n, o que você pode dizer sobre
? Por quê?
Se
Calcule as seguintes integrais impróprias, caso sejam convergentes:
Determine
para que
ek
seja função de densidade de probabilidade.
Reescreva as expressões sem os parênteses: