Demonstre que o conjunto phin, descrito abaixo, é ortogonal no intervalo [-p, p] :
phin=
1, cos (pi xp), cos (2 pi xp), cos (3 pi xp), ldots, sen(pi xp), sen(2 pi xp), sen(3 pi xp), ldots= 1, cos (k pi xp), sen(k pi xp) para k=1,2,3, ldots
Obs.: Analise os casos para m=n e m neq n.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente demonstrar que um conjunto de funções, chamado phin, é ortogonal no intervalo [-p, p]. Isso está dentro do estudo de funções ortogonais, que é fundamental em áreas como séries de Fourier e análise de sinais. Para resolver, vamos precisar entender o que significa duas funções serem ortogonais e como calcular o produto interno delas no intervalo dado.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que duas funções são ortogonais. No contexto de funções, duas funções f(x) e g(x) são ortogonais no intervalo [a, b] se o produto interno delas for zero. O produto interno é dado por:
lang<= f, g rang<= = integrala^b f(x) cdot g(x) , dx
Então, para nosso caso, queremos mostrar que:
lang<= phim, phin rang<= = 0 quando m neq n
E verificar o caso quando m = n.

Passo 3

Vamos analizar os diferentes tipos de funções no conjunto phin:
  1. Função constante: 1
  2. Funções cosseno: cos(kpi xp)
  3. Funções seno:
Vamos calcular o produto interno entre duas funções quaisquer do conjunto e verificar se é zero quando os índices são diferentes.

Passo 4

Primeiro, consideremos o produto interno entre duas funções cosseno com índices diferentes, ou entre um cosseno e um seno. Por exemplo, para m neq n:
lang<= cos(mpi xp), cos(npi xp) rang<= = integral-p^p cos(mpi xp) cos(npi xp) dx
Sabemos que, para m neq n, o resultado dessa integral é zero devido às propriedades das funções trigonométricas (ortogonalidade dos cossenos com diferentes frequências no intervalo simétrico). O mesmo vale para o produto interno entre senos com índices diferentes e entre senos e cossenos.

Passo 5

Agora, vamos verificar o caso quando m = n. Para funções cosseno:
lang<= cos(mpi xp), cos(mpi xp) rang<= = integral-p^p cos^2(mpi xp) dx = p
E similarmente para os senos:
Para a função constante:
lang<= sen(mpi xp), sen(mpi xp) rang<= = integral-p^p sen^2(mpi xp) dx = p
Então, quando lang<= 1, 1 rang<= = integral-p^p 1 cdot 1 , dx = 2p , o produto interno não é zero, o que confirma a ortogonalidade das funções para m = n.

Resposta

Portanto, demonstramos que o conjunto phin é ortogonal no intervalo [-p, p], já que o produto interno de duas funções diferentes do conjunto é zero, e é não nulo quando os índices são iguais.

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