Suponha que sum an e sum bn sejam séries com termos positivos e que sum bn seja convergente.
Se an para todo n, o que você pode dizer sobre sum an ? Por quê?

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos duas séries, sum an e sum bn, onde todos os termos são positivos. Sabemos que a série sum bn converge, ou seja, ela soma a um valor finito. Além disso, para todo n, an < bn. Nosso objetivo é descobrir o que isso nos diz sobre a série sum an. Para resolver isso, vamos usar o Teste de Comparação para Séries.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma série convergir. Uma série converge se a soma infinita dos seus termos chega a um número finito. Se uma série não converge, dizemos que ela diverge.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre o Teste de Comparação. Esse teste nos ajuda a determinar a convergência ou divergência de uma série comparando-a com outra série que já conhecemos o comportamento. No nosso caso, sabemos que sum bn converge.

Passo 4

O Teste de Comparação diz que se temos duas séries com termos positivos e an <= bn para todo n, então:
  • Se a série maior, sum bn, converge, então a série menor, sum an, também converge.
  • Se a série menor diverge, então a série maior também diverge.

Passo 5

Aplicando isso ao nosso problema, temos que an < bn para todo n e que sum bn converge. De acordo com o Teste de Comparação, isso implica que a série menor, sum an, também deve convergir.

Resposta

A série sum an também converge, porque seus termos são menores que os termos de uma série convergente sum bn.

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