Suponha que
e
sejam séries com termos positivos e que
seja convergente.
Se
para todo n, o que você pode dizer sobre
? Por quê?
Se
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos duas séries,
e
, onde todos os termos são positivos. Sabemos que a série
converge, ou seja, ela soma a um valor finito. Além disso, para todo
,
. Nosso objetivo é descobrir o que isso nos diz sobre a série
. Para resolver isso, vamos usar o Teste de Comparação para Séries.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma série convergir. Uma série converge se a soma infinita dos seus termos chega a um número finito. Se uma série não converge, dizemos que ela diverge.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre o Teste de Comparação. Esse teste nos ajuda a determinar a convergência ou divergência de uma série comparando-a com outra série que já conhecemos o comportamento. No nosso caso, sabemos que
converge.
Passo 4
O Teste de Comparação diz que se temos duas séries com termos positivos e
para todo
, então:
- Se a série maior,
, converge, então a série menor, , também converge. - Se a série menor diverge, então a série maior também diverge.
Passo 5
Aplicando isso ao nosso problema, temos que
para todo
e que
converge. De acordo com o Teste de Comparação, isso implica que a série menor,
, também deve convergir.
Resposta
A série
também converge, porque seus termos são menores que os termos de uma série convergente
.
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Demonstre que o conjunto
, descrito abaixo, é ortogonal no intervalo
:
para
Obs.: Analise os casos para e
.
Obs.: Analise os casos para
Determine
para que
ek
seja função de densidade de probabilidade.