Determine a lei da função afim cujo gráfico passa pelc pontos: A) (0,1) e (1,0)
B) (0,1) e (-1,0)
C) (2,0) e (0,-2)
D) (1,- 1) e (3,3)
E) (2,1) e (5,10)
F) (-3,29) e (2,4)​

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a lei da função afim, que é uma função do tipo $ f(x) = ax + b $, cujo gráfico passa por dois pontos específicos. Isso se encaixa no conteúdo de funções lineares na matemática. Para resolver, vamos usar esses pontos para achar os valores de $ a $ e $ b $.

Passo 2

Letra A) Pontos (0,1) e (1,0)

Primeiro, vamos usar o ponto (0,1). Substituindo na função:
f(0) = a cdot 0 + b = 1 Rightarrow b = 1
Agora, usamos o ponto (1,0):
f(1) = a cdot 1 + 1 = 0 Rightarrow a + 1 = 0 Rightarrow a = -1

Passo 3

Letra B) Pontos (0,1) e (-1,0)

Usando o ponto (0,1):
f(0) = a cdot 0 + b = 1 Rightarrow b = 1
Agora, com o ponto (-1,0):
f(-1) = a cdot (-1) + 1 = 0 Rightarrow -a + 1 = 0 Rightarrow a = 1

Passo 4

Letra C) Pontos (2,0) e (0,-2)

Primeiro, com o ponto (2,0):
f(2) = a cdot 2 + b = 0 Rightarrow 2a + b = 0
Agora, com o ponto (0,-2):
f(0) = a cdot 0 + b = -2 Rightarrow b = -2
Substituindo $ b = -2 $ na primeira equação:
b = -2

Passo 5

Letra D) Pontos (1,-1) e (3,3)

Começamos com o ponto (1,-1):
f(1) = a cdot 1 + b = -1 Rightarrow a + b = -1 (1)
E com o ponto (3,3):
f(3) = a cdot 3 + b = 3 Rightarrow 3a + b = 3 (2)
Agora, subtraímos a equação (1) da equação (2):
3a + b - (a + b) = 3 - (-1) Rightarrow 2a = 4 Rightarrow a = 2
Substituindo $ a = 2 $ na equação (1):
a = 2

Passo 6

Letra E) Pontos (2,1) e (5,10)

Usando o ponto (2,1):
f(2) = a cdot 2 + b = 1 Rightarrow 2a + b = 1 (1)
Com o ponto (5,10):
f(5) = a cdot 5 + b = 10 Rightarrow 5a + b = 10 (2)
Subtraindo a equação (1) da equação (2):
5a + b - (2a + b) = 10 - 1 Rightarrow 3a = 9 Rightarrow a = 3
Substituindo $ a = 3 $ na equação (1):
a = 3

Passo 7

Letra F) Pontos (-3,29) e (2,4)

Primeiro, com o ponto (-3,29):
f(-3) = a cdot (-3) + b = 29 Rightarrow -3a + b = 29 (1)
E com o ponto (2,4):
f(2) = a cdot 2 + b = 4 Rightarrow 2a + b = 4 (2)
Agora, vamos resolver o sistema de equações. Subtraindo a equação (2) da equação (1):
-3a + b - (2a + b) = 29 - 4 Rightarrow -5a = 25 Rightarrow a = -5
Substituindo $ a = -5 $ na equação (2):
a = -5

Resposta

Resumindo todas as funções afins:
A) $ f(x) = -x + 1 $
B) $ f(x) = x + 1 $
C) $ f(x) = x - 2 $
D) $ f(x) = 2x - 3 $
E) $ f(x) = 3x - 5 $
F) $ f(x) = -5x + 14 $

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