Determine:
a)
a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado pede para calcular:
Aqui, estamos lidando com limites envolvendo funções trigonométricas, especificamente o cosseno. Para resolver isso, vamos precisar lembrar de algumas identidades trigonométricas básicas e técnicas de simplificação de expressões matemáticas.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o numerador da expressão. Sabemos que:
Essa é uma identidade trigonométrica fundamental conhecida como a identidade pitagórica. Então, substituindo isso na nossa expressão original, temos:
Passo 3
Agora, observamos que, quando
se aproxima de 0, tanto o numerador
quanto o denominador
se aproximam de 0. Isso nos dá uma forma indeterminada do tipo
, o que significa que podemos aplicar a Regra de L’Hôpital.
A Regra de L’Hôpital diz que, se:
então:
desde que esse segundo limite exista.
Passo 4
Vamos aplicar a Regra de L’Hôpital. Primeiro, precisamos derivar o numerador e o denominador separadamente.
A derivada de
em relação a
é:
E a derivada de
em relação a
é:
Passo 5
Substituindo essas derivadas na Regra de L’Hôpital, temos:
Podemos simplificar
no numerador e denominador:
Passo 6
Agora, basta substituir
por 0 na expressão simplificada:
Resposta
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Aplicando o limite exponencial fundamental, calcule:
c)
c)
Calcule o valor de
Use a transformada de Laplace para resolver a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas. Quando apropriado, escreva
em termos de funções de grau unitário.
, onde
Aplicando o limite exponencial fundamental, calcule:
a)
a)