Determine:
a) lim x 0 1-cos ^2 x1-cos x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado pede para calcular:
limx 0 1 - cos^2 x1 - cos x
Aqui, estamos lidando com limites envolvendo funções trigonométricas, especificamente o cosseno. Para resolver isso, vamos precisar lembrar de algumas identidades trigonométricas básicas e técnicas de simplificação de expressões matemáticas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o numerador da expressão. Sabemos que:
1 - cos^2 x = sin^2 x
Essa é uma identidade trigonométrica fundamental conhecida como a identidade pitagórica. Então, substituindo isso na nossa expressão original, temos:
limx 0 sin^2 x1 - cos x

Passo 3

Agora, observamos que, quando limx to a f(x)g(x) = 00 ou pm inftypm infty, se aproxima de 0, tanto o numerador limx to a f(x)g(x) = limx to a f'(x)g'(x), quanto o denominador se aproximam de 0. Isso nos dá uma forma indeterminada do tipo , o que significa que podemos aplicar a Regra de L’Hôpital.
A Regra de L’Hôpital diz que, se:
então:
desde que esse segundo limite exista.

Passo 4

Vamos aplicar a Regra de L’Hôpital. Primeiro, precisamos derivar o numerador e o denominador separadamente.
A derivada de ddx (sin^2 x) = 2 sin x cos x em relação a ddx (1 - cos x) = sin x é:
E a derivada de em relação a é:

Passo 5

Substituindo essas derivadas na Regra de L’Hôpital, temos:
limx 0 2 sin x cos xsin x
Podemos simplificar limx 0 2 cos x no numerador e denominador:

Passo 6

Agora, basta substituir 2 cos 0 = 2 times 1 = 2 por 0 na expressão simplificada:

Resposta

limx 0 1 - cos^2 x1 - cos x = 2

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