Use a transformada de Laplace para resolver a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas. Quando apropriado, escreva f em termos de funções de grau unitário.
g { y'' + 4y = f(t), y(0) = 0, y'(0) = -1 }, onde f(t) = { 1, 0 <= t < 1; 0, t >= 1 }

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial do segundo grau que envolve a transformada de Laplace. A equação é:
com as condições iniciais e . A função é igual a 1 quando e 0 quando . Para resolver isso, vamos usar a transformada de Laplace, que é uma ferramenta poderosa para resolver equações diferenciais, especialmente quando temos condições iniciais e funções definidas por partes. Vamos precisar lembrar como aplicar a transformada nas derivadas e também representar usando funções de grau unitário, tipo a função degrau de Heaviside.

Passo 2

Primeiro, vamos transformar a equação diferencial usando a transformada de Laplace. Lembre-se que:
Aplicando isso na nossa equação:
Substituindo as condições iniciais e :

Passo 3

Agora, precisamos transformar usando a transformada de Laplace. A função é uma função de passo que dura de até . Podemos escrever isso usando a função de Heaviside :
A transformada de é e a transformada de é . Então:

Passo 4

Substituindo na equação transformada:
Vamos isolar :

Passo 5

Agora, vamos dividir essa expressão em duas partes para facilitar a inversão:
Vamos inverter cada termo separadamente:
  1. : Isso corresponde à transformada de .
  2. : Isso corresponde a , porque a presença de envolve o deslocamento no tempo.
  3. : Isso é a transformada de .

Passo 6

Juntando tudo, a solução é:

Resposta

A solução da equação diferencial é

Exercícios relacionados

Determine:
a) lim x 0 1-cos ^2 x1-cos x
Aplicando o limite exponencial fundamental, calcule:
c) lim x -infty(1+1x)^12 x
Aplicando o limite exponencial fundamental, calcule:
a) lim x +infty(1+1x)^6 x
Considere a função, definida em R por:
f(x) = { 2(x - 2), x < 1; k x, x ≥ 1 }
Calcular o valor e k para que a função seja contínua em x = 1.