Use a transformada de Laplace para resolver a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas. Quando apropriado, escreva
em termos de funções de grau unitário.
, onde
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial do segundo grau que envolve a transformada de Laplace. A equação é:
com as condições iniciais
e
. A função
é igual a 1 quando
e 0 quando
. Para resolver isso, vamos usar a transformada de Laplace, que é uma ferramenta poderosa para resolver equações diferenciais, especialmente quando temos condições iniciais e funções definidas por partes. Vamos precisar lembrar como aplicar a transformada nas derivadas e também representar
usando funções de grau unitário, tipo a função degrau de Heaviside.
Passo 2
Primeiro, vamos transformar a equação diferencial usando a transformada de Laplace. Lembre-se que:
Aplicando isso na nossa equação:
Substituindo as condições iniciais
e
:
Passo 3
Agora, precisamos transformar
usando a transformada de Laplace. A função
é uma função de passo que dura de
até
. Podemos escrever isso usando a função de Heaviside
:
A transformada de
é
e a transformada de
é
. Então:
Passo 4
Substituindo
na equação transformada:
Vamos isolar
:
Passo 5
Agora, vamos dividir essa expressão em duas partes para facilitar a inversão:
Vamos inverter cada termo separadamente:
-
: Isso corresponde à transformada de . -
: Isso corresponde a , porque a presença de envolve o deslocamento no tempo. -
: Isso é a transformada de .
Passo 6
Juntando tudo, a solução
é:
Resposta
A solução da equação diferencial é
Exercícios relacionados
Determine:
a)
a)
Aplicando o limite exponencial fundamental, calcule:
c)
c)
Aplicando o limite exponencial fundamental, calcule:
a)
a)
Considere a função, definida em R por:
Calcular o valor e k para que a função seja contínua em
.